En el estudio matemático de la geometría diferencial de las curvas , la curvatura total de una curva plana sumergida es la integral de la curvatura a lo largo de una curva tomada con respecto a la longitud del arco :
La curvatura total de una curva cerrada es siempre un múltiplo entero de 2 π , llamado índice de la curva, o número de giro ; es el número de enrollamiento del vector unitario tangente sobre el origen, o equivalentemente el grado del mapa al círculo unitario que asigna a cada punto de la curva, el vector de velocidad unitario en ese punto. Este mapa es similar al mapa de Gauss para superficies.
Comparación con superficies
Esta relación entre un invariante geométrico local, la curvatura, y un invariante topológico global , el índice, es característica de los resultados en la geometría riemanniana de dimensiones superiores , como el teorema de Gauss-Bonnet .
Invariancia
Según el teorema de Whitney-Graustein , la curvatura total es invariante bajo una homotopía regular de una curva: es el grado del mapa de Gauss . Sin embargo, no es invariante bajo homotopía: pasar por una torcedura (cúspide) cambia el número de giro en 1.
Por el contrario, el número de bobinado alrededor de un punto es invariante bajo homotopías que no pasan por el punto, y cambia en 1 si uno pasa por el punto.
Generalizaciones
Una generalización finita es que los ángulos exteriores de un triángulo, o más generalmente cualquier polígono simple , suman 360 ° = 2 π radianes, correspondiente a un número de giro de 1. Más generalmente, cadenas poligonales que no retroceden sobre sí mismas ( sin ángulos de 180 °) tienen una curvatura total bien definida, interpretando la curvatura como masas puntuales en los ángulos.
La curvatura absoluta total de una curva se define casi de la misma manera que la curvatura total, pero utilizando el valor absoluto de la curvatura en lugar de la curvatura con signo. Es 2 π para curvas convexas en el plano y mayor para curvas no convexas. [1] También se puede generalizar a curvas en espacios de mayor dimensión aplanando la tangente desarrollable a γ en un plano y calculando la curvatura total de la curva resultante. Es decir, la curvatura total de una curva en un espacio n -dimensional es
donde κ n −1 es la última curvatura de Frenet (la torsión de la curva) y sgn es la función signum .
La curvatura absoluta mínima mínima de cualquier curva tridimensional que represente un nudo dado es una invariante del nudo. Este invariante tiene el valor 2 π para el nudo, pero según el teorema de Fáry-Milnor es al menos 4 π para cualquier otro nudo. [2]
Referencias
- ^ Chen, Bang-Yen (2000), "Subvariedades de Riemannian", Manual de geometría diferencial, vol. I , Holanda Septentrional, Amsterdam, págs. 187–418, doi : 10.1016 / S1874-5741 (00) 80006-0 , MR 1736854. Véase en particular la sección 21.1, "Índice de rotación y curvatura total de una curva", págs. 359–360 .
- ^ Milnor, John W. (1950), "Sobre la curvatura total de los nudos", Annals of Mathematics , Second Series, 52 (2): 248-257, doi : 10.2307 / 1969467 , JSTOR 1969467
- Kuhnel, Wolfgang (2005), Geometría diferencial: Curvas - Superficies - Manifolds (2a ed.), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3988-1 (traducido por Bruce Hunt)
- Sullivan, John M. (2008), "Curvas de curvatura total finita", Geometría diferencial discreta , Oberwolfach Semin., 38 , Birkhäuser, Basel, págs. 137-161, arXiv : math / 0606007 , doi : 10.1007 / 978-3 -7643-8621-4_7 , MR 2405664