En la geometría de Riemann , la curvatura geodésica de una curva mide qué tan lejos está la curva de ser una geodésica . Por ejemplo, para curvas 1D en una superficie 2D incrustada en un espacio 3D , es la curvatura de la curva proyectada sobre el plano tangente de la superficie. De manera más general, en una variedad dada, la curvatura geodésica es solo la curvatura habitual de(vea abajo). Sin embargo, cuando la curva está restringido a reposar sobre un sub-colector de (por ejemplo, para curvas en superficies ), la curvatura geodésica se refiere a la curvatura de en y es diferente en general de la curvatura de en el colector de ambiente . La curvatura (ambiental) de depende de dos factores: la curvatura de la subvariedad en la dirección de (la curvatura normal ), que depende únicamente de la dirección de la curva y de la curvatura de visto en (la curvatura geodésica ), que es una segunda cantidad de pedido. La relación entre estos es. En particular geodésicas en tienen curvatura geodésica cero (son "rectas"), de modo que , lo que explica por qué parecen estar curvados en el espacio ambiental siempre que lo está el sub-colector.
Definición
Considere una curva en un colector , parametrizado por arclength , con vector unitario tangente. Su curvatura es la norma de la derivada covariante de: . Si Miente en , la curvatura geodésica es la norma de proyección de la derivada covarianteen el espacio tangente a la subvariedad. Por el contrario, la curvatura normal es la norma de la proyección de en el paquete normal al sub-colector en el punto considerado.
Si el colector ambiental es el espacio euclidiano , entonces la derivada covariante es solo la derivada habitual .
Ejemplo
Dejar ser la esfera unitaria en el espacio euclidiano tridimensional. La curvatura normal dees idénticamente 1, independientemente de la dirección considerada. Los grandes círculos tienen curvatura, por lo que tienen una curvatura geodésica cero y, por lo tanto, son geodésicas. Círculos de radio más pequeños tendrá curvatura y curvatura geodésica .
Algunos resultados que involucran la curvatura geodésica
- La curvatura geodésica no es otra que la curvatura habitual de la curva cuando se calcula intrínsecamente en la subvariedad. . No depende de la forma en que el sub-colector se sienta en .
- Geodésicas de tienen curvatura geodésica cero, lo que equivale a decir que es ortogonal al espacio tangente a .
- Por otro lado, la curvatura normal depende en gran medida de cómo se encuentra la subvariedad en el espacio ambiental, pero marginalmente en la curva: solo depende del punto en el sub-colector y la dirección , pero no en .
- En la geometría riemanniana general, la derivada se calcula usando la conexión Levi-Civita del colector de ambiente: . Se divide en una parte tangente y una parte normal al subconjunto:. La parte tangente es la derivada habitual en (es un caso particular de la ecuación de Gauss en las ecuaciones de Gauss-Codazzi ), mientras que la parte normal es, dónde denota la segunda forma fundamental .
- El teorema de Gauss-Bonnet .
Ver también
Referencias
- do Carmo, Manfredo P. (1976), Geometría diferencial de curvas y superficies , Prentice-Hall, ISBN 0-13-212589-7
- Guggenheimer, Heinrich (1977), "Superficies", Geometría diferencial , Dover, ISBN 0-486-63433-7.
- Slobodyan, Yu.S. (2001) [1994], "Curvatura geodésica" , Enciclopedia de matemáticas , EMS Press.