Lanzamiento de monedas

Para otros usos, consulte Cara o cruz (desambiguación) . Para el uso de "Head and Tail" en la programación de computadoras, vea CAR y CDR . Para lanzar una moneda en el cricket, vea Lanzamiento (cricket) .

Tirando una moneda

Moneda de mover de un tirón , lanzamiento de una moneda , o cara o cruz, es la práctica de tirar una moneda al aire y comprobar qué lado está mostrando cuando aterriza, con el fin de elegir entre dos alternativas, a cara o cruz, a veces se utilizan para resolver una disputa entre dos fiestas. Es una forma de clasificación que intrínsecamente tiene dos posibles resultados. La parte que ve el lado en el que cae la moneda gana.

Historia

Una moneda romana con la cabeza de Pompeyo el Grande en el anverso y un barco en el reverso

El origen histórico del lanzamiento de una moneda es la interpretación de un resultado fortuito como expresión de la voluntad divina ^{[ cita requerida ]} .

Los romanos conocían el lanzamiento de monedas como navia aut caput ("barco o cabeza"), ya que algunas monedas tenían un barco en un lado y la cabeza del emperador en el otro. ^[1] En Inglaterra, esto se conoce como cruz y pila . ^{[1] [2]}

Proceso

Durante el lanzamiento de una moneda, la moneda se lanza al aire de manera que gira borde sobre borde varias veces. Ya sea de antemano o cuando la moneda está en el aire, una parte interesada llama "cara" o "cruz", indicando qué lado de la moneda está eligiendo esa parte. A la otra parte se le asigna el lado opuesto. Dependiendo de la costumbre, la moneda puede ser atrapada atrapado e invertido; o se le permite aterrizar en el suelo. Cuando la moneda se detiene, el lanzamiento se completa y la parte que llamó correctamente o se le asignó el lado superior es declarada ganadora.

Es posible que una moneda caiga de costado, generalmente al chocar contra un objeto (como un zapato) o atascarse en el suelo. Sin embargo, incluso en una superficie plana es posible que una moneda caiga sobre su borde. Un modelo computacional sugiere que la probabilidad de que una moneda caiga en su borde y permanezca allí es de aproximadamente 1 en 6000 por una moneda de cinco centavos estadounidense. ^{[3] El} impulso angular generalmente evita que la mayoría de las monedas caigan en sus bordes sin soporte si se voltean. Los casos en los que una moneda cae sobre su borde son excepcionalmente raros y, en la mayoría de los casos, la moneda simplemente se vuelve a lanzar. ^[4]Puede ocurrir que el lanzamiento se vea afectado por medios no intencionales como no aterrizar en una superficie plana, aterrizar contra un objeto (como un zapato) o hacer contacto con una mano en caída libre. En los casos en que ocurran tales cosas, la moneda debe volver a lanzarse.

La moneda puede ser de cualquier tipo siempre que tenga dos caras distintas; no es necesario que sea una moneda en circulación como tal. Las monedas más grandes tienden a ser más populares que las más pequeñas. Algunos lanzamientos de monedas de alto perfil, como la Copa Mundial de Cricket y el Super Bowl, usan medallones ceremoniales hechos a medida. ^{[5] [6]}

Tres vías

Los lanzamientos de monedas de tres vías también son posibles, mediante un proceso diferente; esto se puede hacer para elegir dos de tres o elegir uno de tres. Para elegir dos de tres, se lanzan tres monedas, y si dos monedas salen iguales y una diferente, la diferente pierde (queda fuera), quedando dos jugadores. Para elegir uno de tres, el anterior se invierte (la moneda impar es el ganador) o un lanzamiento de moneda bidireccional regular entre los dos jugadores restantes pueden decidir. Tenga en cuenta que el lanzamiento de tres direcciones tiene un 75% de probabilidades de funcionar cada vez que se intenta (si todas las monedas son cara o todas son cruz, cada una de las cuales ocurre 1/8 de las veces debido a que las posibilidades son de 0,5 por 0,5 por 0,5, el giro se repite hasta que los resultados difieren), y no requiere que se llame "cara" o "cruz". Un ejemplo bien conocido de este tipo de lanzamiento de moneda de tres vías (elija dos de tres) se dramatiza en Friday Night Lights (originalmente un libro , luego una película y una serie de televisión ), donde tres equipos de fútbol de la escuela secundaria de Texas usan un juego de tres vías. lanzamiento de moneda. ^{[7] [8]} Un legado de ese lanzamiento de moneda en particular de 1988 fue reducir el uso de lanzamientos de monedas para romper empates en los deportes de Texas, en lugar de usar sistemas de puntos para reducir la frecuencia de los empates.

Usar en la resolución de disputas

El lanzamiento de la moneda al comienzo del Super Bowl XLIII

Lanzar monedas es una forma simple e imparcial de resolver una disputa o decidir entre dos o más opciones arbitrarias. En un análisis de la teoría de juegos , proporciona probabilidades iguales para ambas partes involucradas, lo que requiere poco esfuerzo y evita que la disputa se convierta en una lucha. Se usa ampliamente en deportes y otros juegos para decidir factores arbitrarios como desde qué lado del campo jugará un equipo, o de qué lado atacará o defenderá inicialmente; estas decisiones pueden tender a favorecer a un lado o pueden ser neutrales. Factores como la dirección del viento , la posición del sol y otras condiciones pueden afectar la decisión. En los deportes de equipo, a menudo es el capitán quien toma la decisión, mientras que el árbitro o el árbitrogeneralmente supervisa dichos procedimientos. Se puede utilizar un método competitivo en lugar de un lanzamiento en algunas situaciones, por ejemplo, en el baloncesto se emplea el salto , mientras que el enfrentamiento juega un papel similar en el hockey sobre hielo.

Lanzamiento de moneda Navy-Notre Dame

El lanzamiento de monedas se usa para decidir en qué extremo del campo jugarán los equipos y / o qué equipo usará por primera vez la pelota, o preguntas similares en partidos de fútbol , juegos de fútbol americano , fútbol australiano , voleibol y otros deportes que lo requieran. decisiones. En los Estados Unidos, se lanza una moneda especialmente acuñada en los partidos de la Liga Nacional de Fútbol ; la moneda se envía luego al Salón de la Fama del Fútbol Americano Profesional , y otras monedas de la serie especial acuñadas al mismo tiempo se venden a los coleccionistas. La XFL original , una liga de fútbol americano de corta duración, intentó evitar los lanzamientos de monedas implementando un enfrentamientoestilo "revuelo de apertura", en el que un jugador de cada equipo intentaba recuperar un balón suelto; el equipo cuyo jugador recuperó el balón obtuvo la primera opción. Debido a la alta tasa de lesiones en estos eventos, no ha alcanzado una popularidad generalizada en ninguna liga de fútbol (la X-League Indoor Football adoptó una versión modificada , en la que cada jugador persiguió su propia pelota), y el método de lanzar monedas sigue siendo el método. de elección en el fútbol americano. (El XFL revivido , que comenzará el juego en 2020 , renunciará al lanzamiento de la moneda por completo y permitirá que esa decisión se tome como parte de la ventaja de campo de un equipo ).

En un partido de fútbol de asociación , el equipo que gana el sorteo elige qué gol atacar en la primera mitad; el equipo contrario inicia el primer tiempo. Para la segunda mitad, los equipos cambian de lado y comienza el equipo que ganó el sorteo. Los lanzamientos de monedas también se utilizan para decidir qué equipo tiene la opción de ir primero o segundo en una tanda de penaltis . Antes de la introducción de la tanda de penales a principios de la década de 1970 , ocasionalmente se necesitaban lanzamientos de monedas para decidir el resultado de los partidos empatados. El ejemplo más famoso de esto fue el partido de semifinales del Campeonato de Europa de 1968 en Italia entre Italia y la Unión Soviética., que terminó 0-0 en la prórroga. Italia ganó y se convirtió en campeona de Europa. ^[9]

Lanzar una moneda es común en muchos deportes, como el cricket , donde se usa para decidir qué equipo tiene la opción de jugar a los bolos o al bateo primero. Se muestran Don Bradman y Gubby Allen lanzando para entradas .

En el cricket, el lanzamiento es a menudo significativo, ya que la decisión de batear o lanzar primero puede influir en el resultado del juego. De manera similar, en el tenis se usa el lanzamiento de una moneda en partidos profesionales para determinar qué jugador saca primero. El jugador que gana el sorteo decide si sacar primero o devolver, mientras que el perdedor del sorteo decide en qué extremo de la cancha juega primero cada jugador.

En los duelos, a veces se usaba el lanzamiento de una moneda para determinar qué combatiente tenía el sol a la espalda. ^[10] En algunos otros deportes, el resultado del sorteo es menos crucial y simplemente es una forma de elegir justamente entre dos opciones más o menos iguales.

La Liga Nacional de Fútbol también tiene un lanzamiento de moneda para desempatar entre equipos para los puestos de playoffs y la siembra, pero las reglas hacen que la necesidad de lanzar una moneda, que es aleatoria en lugar de competitiva, sea muy poco probable. Un procedimiento similar rompe empates con el propósito de ser cabeza de serie en el Draft de la NFL ; Estos lanzamientos de monedas son más comunes, ya que el procedimiento de desempate para el draft es mucho menos elaborado que el que se usa para la clasificación de los playoffs.

Major League Baseball una vez realizó una serie de lanzamientos de monedas como una contingencia en el último mes de su temporada regular para determinar los equipos locales para cualquier juego potencial de playoffs de un juego que podría necesitar agregarse a la temporada regular. La mayoría de estos casos no ocurrieron. A partir de la temporada 2009 , se cambió el método para determinar la ventaja de local. ^[11]

Las reglas de la Fédération Internationale d'Escrime utilizan un lanzamiento de moneda para determinar el ganador de algunos partidos de esgrima que permanece empatado al final de un minuto extra de " muerte súbita " de competición. Aunque en la mayoría de los partidos internacionales esto ahora se hace de forma electrónica mediante el aparato de puntuación. ^{[ cita requerida ]}

En los Estados Unidos, Asa Lovejoy y Francis W. Pettygrove , cada uno de los cuales poseía el derecho a la tierra que más tarde se convertiría en Portland, Oregón , querían nombrar la nueva ciudad con el nombre de sus respectivas ciudades de origen , Boston, Massachusetts y Portland, Maine ; Pettygrove ganó el lanzamiento de la moneda . ^[12]

Los científicos a veces utilizan el lanzamiento de monedas para determinar el orden en el que aparecen en la lista de autores de artículos académicos . ^[13]

Política

Australia

En diciembre de 2006, las cadenas de televisión australianas Seven y Ten , que compartían la retransmisión de la temporada 2007 de la AFL , decidieron quién retransmitiría la Gran Final lanzando una moneda al aire. Network Ten ganó. ^[14]

Canadá

En algunas jurisdicciones, se lanza una moneda para decidir entre dos candidatos que obtienen el mismo número de votos en una elección , o dos empresas que ofrecen precios iguales por un proyecto. Por ejemplo, el lanzamiento de una moneda decidió una licitación de la ciudad de Toronto en 2003 para pintar líneas en 1.605 km de calles de la ciudad: las ofertas fueron de $ 161.110,00 ($ 100,3800623 por km), $ 146.584,65 ($ 91,33 por km, exactamente) y dos pujas iguales de $ 111.242,55 ( $ 69,31 por km, exactamente).

Filipinas

El " sorteo " es uno de los métodos para romper los lazos para determinar un ganador en una elección; el lanzamiento de una moneda se considera una variante aceptable. Cada candidato tendrá cinco oportunidades para lanzar una moneda; el candidato con más "cabezas" gana. La elección de alcalde de 2013 en San Teodoro, Oriental Mindoro se decidió lanzando una moneda, y se proclamó un ganador después de la segunda ronda cuando ambos candidatos permanecieron empatados en la primera ronda. ^[15]

Reino Unido

En el Reino Unido, si una elección local o nacional ha resultado en un empate en el que los candidatos reciben exactamente el mismo número de votos, entonces el ganador puede decidirse sacando pajitas / lotes, lanzando una moneda o sacando una carta alta en un paquete de tarjetas. ^{[16] [17]}

Estados Unidos

En los Estados Unidos , cuando se agrega un nuevo estado a la Unión, el lanzamiento de una moneda determina la clase de los senadores (es decir, el ciclo electoral en el que expirará el mandato de cada uno de los senadores del nuevo estado) en el Senado de los Estados Unidos . ^[18] Además, varios estados prevén el "sorteo" en caso de que una elección termine en un empate, y esto generalmente se resuelve lanzando una moneda o sacando nombres de un sombrero. ^{[ cita requerida ]} Una elección de 2017 para el distrito 94 de la Cámara de Delegados de Virginia resultó en que tanto el titular republicano David Yanceyy la aspirante demócrata Shelly Simmonds empataron con exactamente 11.608 votos. Según la ley estatal, la elección debía decidirse sacando un nombre de un tazón, aunque un lanzamiento de moneda también habría sido una opción aceptable. El presidente de la Junta Electoral sacó el bote de la película con el nombre de Yancey y fue declarado ganador. ^[19] Además, el resultado del empate determinó el control de toda la Cámara, ya que los republicanos ganaron 50 de los otros 99 escaños y los demócratas 49. Una victoria de Yancey extendió la ventaja republicana a 51-49, mientras que una victoria de Simmonds habría resultado en un empate 50-50. Como no hay ninguna disposición para romper los lazos en la Cámara en su conjunto, esto habría obligado a un acuerdo de reparto de poder entre las dos partes. ^[20]

Física

El resultado de lanzar una moneda al aire ha sido estudiado por el matemático y ex mago Persi Diaconis y sus colaboradores. Han demostrado que un lanzador de monedas mecánico que imparte las mismas condiciones iniciales para cada lanzamiento tiene un resultado muy predecible: el espacio de fase es bastante regular. Además, en el lanzamiento real, las personas muestran un ligero sesgo: "el lanzamiento de una moneda es justo a dos decimales, pero no a tres. Es decir, los tiros típicos muestran sesgos como .495 o .503". ^[21]

Al estudiar el lanzamiento de monedas, para observar la velocidad de rotación de los lanzamientos de monedas, Diaconis primero usó una luz estroboscópica y una moneda con un lado pintado de negro y el otro de blanco, de modo que cuando la velocidad del destello estroboscópico igualara la velocidad de rotación de la moneda, parecería mostrar siempre el mismo lado. Esto resultó difícil de usar, y la velocidad de rotación se calculó con mayor precisión colocando hilo dental en una moneda, de modo que se enrollara alrededor de la moneda; después de un lanzamiento, se podían contar las rotaciones desenrollando el hilo dental y luego calcular la velocidad de rotación a medida que se voltea. tiempo de emisión. ^[21]

Además, su análisis teórico de la física de los lanzamientos de monedas predice un ligero sesgo para que una moneda atrapada sea atrapada de la misma manera que fue arrojada, con una probabilidad de alrededor de 0.51, ^[22] aunque un intento posterior de verificar esto experimentalmente dio resultados ambiguos. ^[23] Los magos y los apostadores de escenario, con la práctica, son capaces de aumentar en gran medida este sesgo, mientras siguen haciendo lanzamientos que son visualmente indistinguibles de los lanzamientos normales. ^[21]

Dado que las imágenes en los dos lados de las monedas reales están hechas de metal en relieve, es probable que el lanzamiento favorezca ligeramente una cara o la otra si se permite que la moneda ruede por un borde al aterrizar. Es mucho más probable que el giro de las monedas esté sesgado que el lanzamiento, y los prestidigitadores recortan los bordes de las monedas para que cuando se giren, generalmente caigan en una cara en particular.

Propiedades contradictorias

La intuición humana sobre la probabilidad condicional es a menudo muy pobre y puede dar lugar a algunas observaciones aparentemente sorprendentes. Por ejemplo, si los lanzamientos sucesivos de una moneda se registran como una cadena de "H" y "T", entonces, para cualquier intento de lanzamiento, es dos veces más probable que el triplete TTH ocurra antes que THT que después. Es tres veces más probable que THH preceda a HHT, que THH siga a HHT. ^[24] (Ver el juego de Penney )

Matemáticas

La abstracción matemática de las estadísticas del lanzamiento de monedas se describe mediante el proceso de Bernoulli ; un solo lanzamiento de una moneda es una prueba de Bernoulli . En el estudio de la estadística, el lanzamiento de monedas juega el papel de ser un ejemplo introductorio de las complejidades de la estadística. Un tema que se suele tratar en los libros de texto es el de comprobar si una moneda es justa .

Telecomunicaciones

Más información: Esquema de compromiso

No existe una forma confiable de utilizar un verdadero lanzamiento de moneda para resolver una disputa entre dos partes si ambas no pueden ver la moneda, por ejemplo, por teléfono. La parte que cambia fácilmente podría mentir sobre el resultado del sorteo. En telecomunicaciones y criptografía , se puede utilizar el siguiente algoritmo:

1. Alice y Bob eligen cada uno una cadena aleatoria, por ejemplo, npermangmxy qzahziyniirespectivamente.
2. Alice elige un resultado para un lanzamiento de moneda imaginario, como "cola".
3. Bob le envía a Alice su cadena aleatoria qzahziynii.
4. Alice calcula inmediatamente un hash criptográfico de la cadena "cola" salada con las dos cadenas aleatorias y se la envía a Bob.
5. Debido a que este hash se sala con la cadena aleatoria de Alice, Bob no podrá determinar en este momento cuál es el resultado elegido por Alice.
6. Bob lanza la moneda y envía el resultado, cara o cruz, a Alice.
7. Alice le envía a Bob su resultado elegido y su secuencia aleatoria.
8. Ambas partes pueden determinar quién ganó comparando el resultado elegido por Alice con el lanzamiento de la moneda de Bob.
9. Bob, al proporcionar su propia cadena aleatoria, garantiza que Alice no pudo calcular previamente un par de imágenes de "cola / cadena aleatoria" o "cabeza / cadena aleatoria", para dos cadenas aleatorias diferentes.

Loterías

El juego de lotería de Nueva Zelanda Big Wednesday utiliza un lanzamiento de moneda. Si un jugador acierta los 6 números, el lanzamiento de la moneda decidirá si gana un premio mayor en efectivo (mínimo de NZ $ 25,000) o un premio mayor mayor con premios de lujo (mínimo de NZ $ 2 millones en efectivo, más el valor de los premios de lujo). El lanzamiento de una moneda también se utiliza para determinar el premio del ganador de la Segunda Oportunidad.

Aclarando sentimientos

Una técnica atribuida a Sigmund Freud para ayudar a tomar decisiones difíciles es lanzar una moneda no para determinar la decisión, sino para aclarar los sentimientos de quien toma las decisiones. Explicó: "No dije que debieras seguir ciegamente lo que te dice la moneda. Lo que quiero que hagas es notar lo que indica la moneda. Luego, mira tus propias reacciones. Pregúntate: ¿Estoy complacido? ¿Estoy decepcionado? Eso te ayudará a reconocer cómo te sientes realmente sobre el asunto, en el fondo. Con eso como base, estarás listo para tomar una decisión y tomar la decisión correcta ". ^[25]

El libro Grooks del poeta danés Piet Hein incluye un poema sobre un tema similar:

Un consejo psicológico

Siempre que se te pida que tomes una decisión,
y no tengas ninguna,
la mejor manera de resolver el dilema, encontrarás,
es simplemente girando un centavo.
No, no para que el azar decida el asunto
mientras estás pasivamente allí, abatido;
Pero en el momento en que el centavo está en el aire, de
repente sabes lo que estás esperando.

Ver también

• Proceso de Bernoulli
• Toss (cricket)
• Comprobando si una moneda es justa
• Flipismo
• El juego de Penney
• Falacia del jugador
• Piedra Papel tijeras
• Dos
• Dos caras

Referencias

Citas

1. Allenunne, Richard (31 de diciembre de 2009). "Lanzamiento de monedas a través de las edades" . El telégrafo . Consultado el 8 de diciembre de 2012 .
2. "Cruz y pila" . Diccionario de frase y fábula . Bartleby.com . 1898 . Consultado el 8 de diciembre de 2012 .
3. Murray, Daniel B .; Teare, Scott W. (1 de octubre de 1993). "Probabilidad de que una moneda lanzada aterrice en el borde" . Revisión E física . 48 (4): 2547-2552. doi : 10.1103 / PhysRevE.48.2547 . PMID 9960889 . 
4. Hoffman, Rich (8 de diciembre de 2013). El regreso de Snowy es un clásico instantáneo . Philly.com . Consultado el 9 de diciembre de 2013.
5. "¿Quieres pujar por una parte de la historia de la Copa del Mundo? Descubre cómo ..." Rediff.com . 22 de marzo de 2015 . Consultado el 30 de marzo de 2018 .
6. Allen, Scott (5 de febrero de 2012). "Una breve historia del lanzamiento de monedas del Super Bowl" . Hilo mental . Consultado el 30 de marzo de 2018 .
7. Bissinger, HG Bissinger (1990). "Capítulo 13: Cara o cruz" . Friday Night Lights: una ciudad, un equipo y un sueño . Prensa Da Capo. ISBN 9780306809903. Consultado el 8 de diciembre de 2012 .
8. Lee, Mike (7 de noviembre de 2008). "El director atlético de SAISD recuerda el famoso lanzamiento de una moneda de 1988" . San Angelo Standard-Times . Consultado el 8 de diciembre de 2012 .
9. "Campeonato de Europa de 1968" . RSSSF. 1968 . Consultado el 26 de julio de 2014 .
10. "Duelos franceses" (PDF) . Scribner's Monthly . 11 : 546. 1876. Reproducido en "Duelos franceses" (PDF) . The New York Times . 23 de enero de 1876.
11. "La propiedad aprueba dos enmiendas importantes a las reglas" (Comunicado de prensa). Grandes Ligas de Béisbol . 15 de enero de 2009 . Consultado el 8 de diciembre de 2012 .
12. Orloff, Chet. "Francis Pettygrove (1812-1887)" . La enciclopedia de Oregon . Universidad Estatal de Portland . Consultado el 29 de marzo de 2010 .
13. Ejemplo: Meredith, RW; Janečka, JE; Gatesy, J .; Ryder, OA; Fisher, CA; Teeling, EC; Goodbla, A .; Eizirik, E .; Simão, TLL; Stadler, T .; Rabosky, DL; Honeycutt, RL; Flynn, JJ; Ingram, CM; Steiner, C .; Williams, TL; Robinson, TJ; Burk-Herrick, A .; Westerman, M .; Ayoub, NA; Springer, MS; Murphy, WJ (2011). "Impactos de la revolución terrestre del Cretácico y la extinción de KPg en la diversificación de mamíferos". Ciencia . 334 (6055): 521–524. doi : 10.1126 / science.1211028 . PMID 21940861 . S2CID 38120449 .  "Primera autoría determinada por lanzamiento de moneda. [...] Última autoría determinada por lanzamiento de moneda".
14. "Diez gana lanzamiento de moneda de la gran final de la AFL" . El Sydney Morning Herald. 22 de diciembre de 2006 . Consultado el 22 de septiembre de 2019 .
15. Virola, Madonna (16 de mayo de 2013). "Lanzamiento de moneda rompe empate en la carrera por la alcaldía en la ciudad de Mindoro Oriental" . Inquirer diario filipino . Consultado el 16 de marzo de 2013 .
16. "La Haya saborea las victorias locales" . BBC News . 5 de mayo de 2000 . Consultado el 8 de diciembre de 2012 . Hay dos métodos para decidir el resultado en caso de empate: se lanza una moneda o las partes sacan pajitas.
17. "El recuento" . Vote2001 . Noticias de la BBC. 17 de febrero de 2001 . Consultado el 8 de diciembre de 2012 . Él o ella [el escrutador ] puede usar cualquier método aleatorio, como lanzar una moneda, pero la forma recomendada es pedirle a cada candidato que escriba su nombre en una hoja de papel en blanco y la coloque en un recipiente.
18. "Preguntas frecuentes sobre un nuevo Congreso" . Senado de Estados Unidos . Consultado el 11 de junio de 2013 .
19. El republicano de Virginia David Yancey gana el desempate en el dibujo NPR
20. Carrera de Newport News House empatada después de que los jueces cuentan la boleta pendiente WTOP.com
21. Diaconis, Persi (11 de diciembre de 2002). "El problema de pensar demasiado" (PDF) . Departamento de Estadística, Universidad de Stanford.
22. Landhuis, Esther (7 de junio de 2004). "El desacreditador de toda la vida se convierte en árbitro de las elecciones neutrales" . Informe de Stanford.
23. Aldous, David. "40.000 lanzamientos de monedas arrojan pruebas ambiguas de sesgo dinámico" . Departamento de Estadística, Universidad de California, Berkeley.
24. "Lanzamiento de monedas" . Wolfram MathWorld.
25. Mackay, Harvey (28 de mayo de 2009). "La toma de decisiones define al líder" . Archivado desde el original el 24 de julio de 2011.

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Fuentes

• Ford, Joseph (1983). "¿Qué tan aleatorio es el lanzamiento de una moneda?". Física hoy . 36 (4): 40–47. doi : 10.1063 / 1.2915570 .
• Keller, Joseph B. (1986). "La probabilidad de cara". American Mathematical Monthly . Asociación Matemática de América. 93 (3): 191-197. doi : 10.2307 / 2323340 . JSTOR  2323340 .
• Vulovic, Vladimir Z .; Prange, Richard E. (1986). "Aleatoriedad de un verdadero lanzamiento de moneda". Physical Review A . 33 (1): 576–582. doi : 10.1103 / PhysRevA.33.576 . PMID  9896645 .

Enlaces externos

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