En la teoría de grupos , una rama de las matemáticas , el proceso de recopilación de conmutadores es un método para escribir un elemento de un grupo como producto de los generadores y sus conmutadores superiores dispuestos en un cierto orden. El proceso de recolección del conmutador fue introducido por Philip Hall en 1934 [1] y articulado por Wilhelm Magnus en 1937. [2] El proceso a veces se denomina "proceso de recolección".
El proceso se puede generalizar para definir un subconjunto totalmente ordenado de un álgebra libre no asociativa, es decir, un magma libre ; este subconjunto se denomina conjunto Hall . Los miembros del conjunto Hall son árboles binarios; estos pueden colocarse en correspondencia uno a uno con palabras, llamándose palabras de pasillo ; las palabras de Lyndon son un caso especial. Los conjuntos de Hall se utilizan para construir una base para un álgebra de Lie libre , de forma totalmente análoga al proceso de recopilación de conmutadores. Las palabras Hall también proporcionan una factorización única de monoides .
Declaración
El proceso de recolección del conmutador generalmente se establece para grupos libres , ya que un teorema similar se aplica a cualquier grupo escribiéndolo como un cociente de un grupo libre.
Suponga que F 1 es un grupo libre en los generadores a 1 , ..., a m . Defina la serie central descendente poniendo
- F n +1 = [ F n , F 1 ]
Los conmutadores básicos son elementos de F 1 definidos y ordenados de la siguiente manera:
- Los conmutadores básicos de peso 1 son los generadores a 1 , ..., a m .
- Los conmutadores básicos de peso w > 1 son los elementos [ x , Y ], donde x y y son conmutadores básicos cuya suma de pesos para w , tal que x > y , y si x = [ u , v ] para conmutadores básicos u y v entonces v ≤ y .
Los conmutadores se ordenan de modo que x > y si x tiene un peso mayor que el de y , y para conmutadores de cualquier peso fijo se elige algún orden total.
Entonces F n / F n +1 es un grupo abeliano libre finitamente generado con una base que consta de conmutadores básicos de peso n .
Entonces cualquier elemento de F puede escribirse como
donde c i son los conmutadores básicos de peso como máximo m dispuestos en orden, yc es un producto de conmutadores de peso mayor que m , y n i son números enteros .
Ver también
Referencias
- ↑ Hall, Philip (1934), "Una contribución a la teoría de grupos de orden de potencias primarias", Actas de la London Mathematical Society , 36 : 29-95, doi : 10.1112 / plms / s2-36.1.29
- ^ W. Magnus (1937), "Über Beziehungen zwischen höheren Kommutatoren", J. Grelle 177 , 105-115.
Leer
- Hall, Marshall (1959), La teoría de los grupos , Macmillan, MR 0103215
- Huppert, B. (1967), Endliche Gruppen (en alemán), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 90–93, ISBN 978-3-540-03825-2, MR 0224703 , OCLC 527050