En matemáticas , un álgebra de Lie libre sobre un campo K es un álgebra de Lie generada por un conjunto X , sin relaciones impuestas más que las relaciones definitorias de alternancia K -bilinealidad y la identidad de Jacobi .
Definición
La definición del álgebra de Lie libre generada por un conjunto X es la siguiente:
- Sea X un conjunto y un morfismo de conjuntos ( función ) de X en un álgebra de Lie L . El álgebra de Lie L se llama libre en X si es el morfismo universal ; es decir, si para cualquier álgebra A de Lie con un morfismo de conjuntos , hay un morfismo de álgebra de Lie único tal que .
Dado un conjunto X , se puede demostrar que existe un álgebra de Lie libre únicagenerada por X .
En el lenguaje de la teoría de categorías , el funtor que envía un conjunto X al álgebra de Lie generado por X es el funtor libre de la categoría de conjuntos a la categoría de álgebras de Lie. Es decir, se deja adjunto al functor olvidadizo .
El álgebra de Lie libre en un conjunto X se califica naturalmente . El componente de grado 0 del álgebra de Lie libre es solo el espacio vectorial libre en ese conjunto.
Alternativamente, se puede definir un álgebra de Lie libre en un espacio vectorial V como adjunto a la izquierda del functor olvidadizo de las álgebras de Lie sobre un campo K a los espacios vectoriales sobre el campo K , olvidando la estructura del álgebra de Lie, pero recordando la estructura del espacio vectorial.
Álgebra envolvente universal
El álgebra envolvente universal, de un álgebra de Lie libre en un conjunto X es el álgebra asociativa libre generado por X . Según el teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt , es del "mismo tamaño" que el álgebra simétrica del álgebra de Lie libre (lo que significa que si ambos lados se gradúan dando elementos de X grado 1, entonces son isomorfos como espacios vectoriales graduados). Esto se puede usar para describir la dimensión de la pieza del álgebra de Lie libre de cualquier grado dado.
Ernst Witt demostró que el número de conmutadores básicos de grado k en el álgebra de Lie libre en un conjunto de elementos m viene dado por el polinomio del collar :
dónde es la función de Möbius .
El dual gradual del álgebra envolvente universal de un álgebra de mentira libre en un conjunto finito es el álgebra aleatoria . Esto se sigue esencialmente porque las álgebras envolventes universales tienen la estructura de un álgebra de Hopf , y el producto shuffle describe la acción de la comultiplicación en este álgebra. Consulte el álgebra tensorial para obtener una exposición detallada de la interrelación entre el producto aleatorio y la multiplicación.
Conjuntos de pasillo
Una base explícita del álgebra de Lie libre se puede dar en términos de un conjunto de sala , que es un tipo particular de subconjunto dentro del magma libre sobre X . Elementos del magma libre son árboles binarios , con sus hojas etiquetados por elementos de X . Los decorados de pasillo fueron introducidos por Marshall Hall ( 1950 ) basándose en el trabajo de Philip Hall en grupos. Posteriormente, Wilhelm Magnus demostró que surgen como el álgebra de Lie graduada asociada con la filtración en un grupo libre dada por la serie central inferior . Esta correspondencia fue motivada por identidades de conmutador en la teoría de grupos debidas a Philip Hall y Witt.
Base de Lyndon
Las palabras de Lyndon son un caso especial de las palabras de Hall , por lo que, en particular, hay una base del álgebra de Lie libre correspondiente a las palabras de Lyndon. Esto se llama la base de Lyndon , que lleva el nombre de Roger Lyndon . (Esto también se llama la base Chen-Fox-Lyndon o la base Lyndon-Shirshov, y es esencialmente la misma que la base Shirshov ). Existe una biyección γ de las palabras Lyndon en un alfabeto ordenado a una base de la Mentira libre. álgebra en este alfabeto definido de la siguiente manera:
- Si una palabra w tiene una longitud de 1 entonces (considerado como generador del álgebra de Lie libre).
- Si w tiene una longitud de al menos 2, escribapara las palabras de Lyndon u , v con v el mayor tiempo posible (la "factorización estándar" [1] ). Luego.
Teorema de Shirshov-Witt
Anatoly Širšov ( 1953 ) y Witt ( 1956 ) demostraron que cualquier subálgebra de Lie de un álgebra de Lie libre es en sí misma un álgebra de Lie libre.
Aplicaciones
El teorema de Serre sobre un álgebra de Lie semisimple usa un álgebra de Lie libre para construir un álgebra semisimple a partir de generadores y relaciones.
Los invariantes de Milnor de un grupo de enlaces están relacionados con el álgebra de Lie libre en los componentes del enlace , como se discutió en ese artículo.
Véase también Lie operad para el uso de un álgebra de Lie libre en la construcción de la operad.
Ver también
- Objeto libre
- Álgebra libre
- Grupo libre
Referencias
- ^ Berstel, Jean; Perrin, Dominique (2007), "Los orígenes de la combinatoria en palabras" (PDF) , European Journal of Combinatorics , 28 (3): 996–1022, doi : 10.1016 / j.ejc.2005.07.019 , MR 2300777
- Bakhturin, Yu.A. (2001) [1994], "Álgebra de mentira libre sobre un anillo" , Enciclopedia de matemáticas , EMS Press
- Bourbaki, Nicolas (1989). "Capítulo II: Álgebras de Mentiras Libres". Grupos de mentiras y álgebras de mentiras . Saltador. ISBN 0-387-50218-1. CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
- Chen, Kuo-Tsai; Fox, Ralph H .; Lyndon, Roger C. (1958), "Cálculo diferencial libre. IV. Los grupos de cocientes de la serie central inferior", Annals of Mathematics , Second Series, 68 (1): 81–95, doi : 10.2307 / 1970044 , ISSN 0003 -486X , JSTOR 1.970.044 , MR 0102539 CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
- Hall, Marshall (1950), "Una base para anillos de Lie libres y conmutadores superiores en grupos libres" , Proceedings of the American Mathematical Society , 1 (5): 575–581, doi : 10.1090 / S0002-9939-1950-0038336- 7 , ISSN 0002-9939 , Sr. 0038336 CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
- Lothaire, M. (1997), Combinatoria en palabras , Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones, 17 , Perrin, D .; Reutenauer, Christophe; Berstel, J .; Pin, JE; Pirillo, G .; Foata, D .; Sakarovitch, J .; Simon, I .; Schützenberger, Marcel-Paul ; Choffrut, C .; Cori, R .; Lyndon, Roger ; Rota, Gian-Carlo . Prólogo de Roger Lyndon (2ª ed.), Cambridge University Press , págs. 76–91, 98, ISBN 0-521-59924-5, Zbl 0874.20040 CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
- Magnus, Wilhelm (1937), "Über Beziehungen zwischen höheren Kommutatoren" , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (en alemán), 177 (177): 105-115, doi : 10.1515 / crll.1937.177.105 , ISSN 0075-4102 , JFM 63.0065.01
- Magnus, Wilhelm ; Karrass, Abraham; Solitar, Donald (2004). Teoría combinatoria de grupos (Reimpresión de la segunda edición de 1976). Mineola, Nueva York: Dover . ISBN 0-486-43830-9. Señor 2109550 .
- Guy Melançon (2001) [1994], "Hall set" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Guy Melançon (2001) [1994], "Hall word" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Melançon, Guy (2001) [1994], "Base Shirshov" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Reutenauer, Christophe (1993), Álgebras de Lie libre , Monografías de la Sociedad Matemática de Londres. Nueva serie, 7 , The Clarendon Press Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853679-6, MR 1231799
- Širšov, Anatoliĭ I. (1953), "Subálgebras de álgebras de Lie libres", Mat. Sbornik , nueva serie, 33 (75): 441–452, MR 0059892
- Širšov, Anatoliĭ I. (1958), "Sobre anillos de mentira libres", Mat. Sbornik , nueva serie, 45 (2): 113-122, MR 0099356 CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
- Bokut, Leonid A .; Latyshev, Victor; Shestakov, Ivan; Zelmanov, Efim , eds. (2009). Obras seleccionadas de AI Shirshov . Traducido por Bremner, Murray; Kochetov, Mikhail V. Basel, Boston, Berlín: Birkhäuser. Señor 2547481 .
- Witt, Ernst (1956). "Die Unterringe der freien Lieschen Ringe". Mathematische Zeitschrift . 64 : 195–216. doi : 10.1007 / BF01166568 . ISSN 0025-5874 . Señor 0077525 .