Mónada (teoría de categorías)

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , una mónada (también triple , tríada , construcción estándar y construcción fundamental ) ^[1] es un endofunctor (un functor que asigna una categoría a sí mismo), junto con dos transformaciones naturales requeridas para cumplir ciertas condiciones de coherencia . Las mónadas se utilizan en la teoría de pares de functores adjuntos y generalizan los operadores de cierre en conjuntos parcialmente ordenados a categorías arbitrarias.

Una mónada es un cierto tipo de endofunctor . Por ejemplo, si y son un par de functores adjuntos , con adjunto izquierdo a , entonces la composición es una mónada. Si y son functores inversos, la mónada correspondiente es el funtor de identidad . En general, las adjunciones no son equivalencias, relacionan categorías de diferente naturaleza. La teoría de la mónada es importante como parte del esfuerzo por captar qué es lo que los adjuntos "preservan". La otra mitad de la teoría, de lo que también se puede aprender de la consideración , se discute bajo la teoría dual de las comónadas . ${\ Displaystyle F}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle F}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle G \ circ F}$ ${\ Displaystyle F}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle F \ circ G}$

A lo largo de este artículo se denota una categoría . A mónada en consta de un endofunctor junto con dos transformaciones naturales : (donde denota el funtor identidad en ) y (donde es el funtor de a ). Estos son necesarios para cumplir las siguientes condiciones (a veces llamadas condiciones de coherencia ): ${\ Displaystyle C}$ ${\ Displaystyle C}$ ${\ Displaystyle T \ dos puntos C \ a C}$ ${\ Displaystyle \ eta \ colon 1_ {C} \ to T}$ ${\ Displaystyle 1_ {C}}$ ${\ Displaystyle C}$ ${\ Displaystyle \ mu \ colon T ^ {2} \ to T}$ ${\ Displaystyle T ^ {2}}$ ${\ Displaystyle T \ circ T}$ ${\ Displaystyle C}$ ${\ Displaystyle C}$

Vea el artículo sobre transformaciones naturales para la explicación de las notaciones y , o vea a continuación los diagramas conmutativos que no usan estas nociones: ${\ Displaystyle T \ mu}$ ${\ Displaystyle \ mu T}$