En matemáticas , un grupo cuántico compacto es una estructura abstracta en un álgebra C * unital separable axiomatizada de las que existen en el álgebra C * conmutativa de "funciones continuas de valores complejos" en un grupo cuántico compacto.
La motivación básica de esta teoría proviene de la siguiente analogía. El espacio de las funciones de valor complejo en un espacio topológico compacto Hausdorff forma una conmutativa C * -algebra. Por otro lado, según el Teorema de Gelfand , un álgebra C * conmutativa es isomórfica al álgebra C * de funciones continuas con valores complejos en un espacio topológico compacto de Hausdorff, y el espacio topológico está determinado únicamente por el álgebra C * hasta el homeomorfismo .
SL Woronowicz [1] introdujo el importante concepto de grupos cuánticos de matriz compacta , que inicialmente llamó pseudogrupos compactos . Los grupos cuánticos de matriz compacta son estructuras abstractas en las que las "funciones continuas" de la estructura vienen dadas por elementos de un álgebra C *. La geometría de un grupo cuántico de matriz compacta es un caso especial de geometría no conmutativa .
Formulación
Para un grupo topológico compacto , G , existe un homomorfismo de C * -álgebra
donde C ( G ) ⊗ C ( G ) es el producto del tensor de álgebra C * mínimo - la compleción del producto del tensor algebraico de C ( G ) y C ( G ) ) - tal que
para todos y para todos , dónde
para todos y todo . También existe un mapeo multiplicativo lineal
- ,
tal que
para todos y todo . Estrictamente hablando, esto no convierte a C ( G ) en un álgebra de Hopf , a menos que G sea finito.
Por otro lado, se puede usar una representación de dimensión finita de G para generar una * -subálgebra de C ( G ) que también es un Hopf * -álgebra. Específicamente, si
es una representación n- dimensional de G , entonces
para todo i , j y
por todo i , j . De ello se deduce que el * -álgebra generado porpara todo i , j ypara todo i , j es un álgebra de Hopf *: el recuento está determinado por
para todos (dónde es el delta de Kronecker ), la antípoda es κ , y la unidad está dada por
Grupos cuánticos de matriz compacta
Como generalización, un grupo cuántico de matriz compacta se define como un par ( C , u ) , donde C es un C * -álgebra y
es una matriz con entradas en C tal que
- La * -subálgebra, C 0 , de C , que es generada por los elementos de la matriz de u , es densa en C ;
- Existe un homomorfismo de C * -algebra, llamado comultiplicación, Δ: C → C ⊗ C (aquí C ⊗ C es el producto del tensor de C * -álgebra - la finalización del producto del tensor algebraico de C y C ) tal que
- Existe un mapa antimultiplicativo lineal, llamado coinverso, κ : C 0 → C 0 tal que para todos y donde I es el elemento identidad de C . Dado que κ es antimultiplicativo, κ ( vw ) = κ ( w ) κ ( v ) para todos.
Como consecuencia de la continuidad, la multiplicación en C es coasociativa.
En general, C es una bialgebra y C 0 es un álgebra de Hopf *.
De manera informal, C puede considerarse como el * -álgebra de funciones continuas de valores complejos sobre el grupo cuántico de matriz compacta, y u puede considerarse como una representación de dimensión finita del grupo cuántico de matriz compacta.
Grupos cuánticos compactos
Para C * -álgebras A y B que actúan sobre los espacios de Hilbert H y K respectivamente, su producto tensorial mínimo se define como la terminación normal del producto tensorial algebraico A ⊗ B en B ( H ⊗ K ) ; la finalización norma también se denota por A ⊗ B .
Un grupo cuántico compacto [2] [3] se define como un par ( C , Δ) , donde C es un C * -álgebra unital separable y
- Δ: C → C ⊗ C es un homomorfismo unital de C * -algebra que satisface (Δ ⊗ id) Δ = (id ⊗ Δ) Δ ;
- los conjuntos de {( C ⊗ 1) Δ ( C )} y {(1 ⊗ C ) Δ ( C )} son densos en C ⊗ C .
Representaciones
Una representación del grupo cuántico de matriz compacta viene dada por una representación central del álgebra de Hopf * [4] Además, una representación, v , se llama unitaria si la matriz para v es unitaria, o de manera equivalente, si
Ejemplo
Un ejemplo de un grupo cuántico de matriz compacta es SU μ (2) , [5] donde el parámetro μ es un número real positivo.
Primera definición
SU μ (2) = ( C (SU μ (2)), u ) , donde C (SU μ (2)) es el C * -álgebra generada por α y γ , sujeto a
y
de modo que la multiplicación está determinada por , y el inverso está determinado por . Tenga en cuenta que u es una representación, pero no una representación unitaria . u es equivalente a la representación unitaria
Segunda definición
SU μ (2) = ( C (SU μ (2)), w ) , donde C (SU μ (2)) es el álgebra C * generada por α y β , sujeto a
y
de modo que la multiplicación está determinada por , y el inverso está determinado por , . Tenga en cuenta que w es una representación unitaria. Las realizaciones pueden identificarse equiparando.
Caso límite
Si μ = 1 , SU μ (2) es igual al grupo compacto de hormigón SU (2) .
Referencias
- ^ Woronowicz, SL "Pseudogrupos de matriz compacta", Commun. Matemáticas. Phys. 111 (1987), 613-665
- ^ Woronowicz, SL "Grupos cuánticos compactos". Notas de http://www.fuw.edu.pl/~slworono/PDF-y/CQG3.pdf
- ^ van Daele, A. y Maes, Ann. "Notas sobre grupos cuánticos compactos", arXiv: math / 9803122
- ^ una representación central de un coalgebra coasiativa nacional A es una matriz cuadrada
- ^ van Daele, A. y Wang, S. "Grupos cuánticos universales" Int. J. Math. (1996), 255-263.