En matemáticas , un álgebra de Hopf , el nombre de Heinz Hopf , es una estructura que es a la vez un ( unital asociativo) álgebra y un (coassociative counital) coalgebra , con la compatibilidad de estas estructuras lo que es un bialgebra , y que además está equipado con un antiautomorphism satisfaciendo una determinada propiedad. La teoría de la representación de un álgebra de Hopf es particularmente agradable, ya que la existencia de comultiplicación, cuenta y antípoda compatibles permite la construcción de productos tensoriales de representaciones, representaciones triviales y representaciones duales.
Las álgebras de Hopf ocurren naturalmente en la topología algebraica , donde se originaron y están relacionadas con el concepto de espacio H , en la teoría de esquemas de grupo , en la teoría de grupos (a través del concepto de anillo de grupo ) y en muchos otros lugares, lo que los convierte probablemente en los más tipo familiar de bialgebra . Las álgebras de Hopf también se estudian por derecho propio, con mucho trabajo sobre clases específicas de ejemplos por un lado y problemas de clasificación por el otro. Tienen diversas aplicaciones que van desde la física de la materia condensada y la teoría cuántica de campos [1] hasta la teoría de cuerdas [2] y la fenomenología del LHC . [3]
Definicion formal
Formalmente, un álgebra de Hopf es una bialgebra (asociativa y coasociativa) H sobre un campo K junto con un mapa lineal K S : H → H (llamado antípoda ) tal que el siguiente diagrama conmuta :
Aquí Δ es la comultiplicación de la bialgebra, ∇ su multiplicación, η su unidad y ε su cuenta. En la notación de Sweedler sin suma , esta propiedad también se puede expresar como
En cuanto a las álgebras , se puede reemplazar el campo subyacente K con un anillo conmutativo R en la definición anterior. [4]
La definición del álgebra de Hopf es auto-dual (como se refleja en la simetría del diagrama anterior), por lo que si uno puede definir un dual de H (lo cual siempre es posible si H es de dimensión finita), entonces automáticamente es un álgebra de Hopf . [5]
Constantes de estructura
Fijando una base para el espacio vectorial subyacente, se puede definir el álgebra en términos de constantes de estructura para la multiplicación:
para la co-multiplicación:
y la antípoda:
La asociatividad requiere entonces que
mientras que la co-asociatividad requiere que
El axioma de conexión requiere que
Propiedades de la antípoda
A veces se requiere que la antípoda S tenga un inverso lineal K , que es automático en el caso de dimensión finita [ aclaración necesaria ] , o si H es conmutativo o coconmutativo (o más generalmente cuasitriangular ).
En general, S es un antihomomorfismo , [6] por lo que S 2 es un homomorfismo , que por lo tanto es un automorfismo si S fuera invertible (como puede ser necesario).
Si S 2 = id H , entonces se dice que el álgebra de Hopf es involutiva (y el álgebra subyacente con involución es un * -álgebra ). Si H es semisimple de dimensión finita sobre un campo de característica cero, conmutativo o coconmutativo, entonces es involutivo.
Si una bialgebra B admite una antípoda S , entonces S es única ("una bialgebra admite como máximo 1 estructura de álgebra de Hopf"). [7] Por tanto, la antípoda no plantea ninguna estructura extra que podamos elegir: ser un álgebra de Hopf es una propiedad de una bialgebra.
La antípoda es análoga al mapa de inversión en un grupo que envía g a g −1 . [8]
Subálgebras de Hopf
A subálgebra A de un álgebra de Hopf H es una subálgebra Hopf si es un subcoalgebra de H y el antípoda S mapas de A en A . En otras palabras, una subálgebra A de Hopf es un álgebra de Hopf por derecho propio cuando la multiplicación, comultiplicación, cuenta y antípoda de H se restringe a A (y además se requiere que la identidad 1 de H esté en A). El teorema de libertad de Nichols-Zoeller estableció (en 1989) que el módulo A natural H está libre de rango finito si H es de dimensión finita: una generalización del teorema de Lagrange para subgrupos . Como corolario de esta teoría y de la integral, una subálgebra de Hopf de un álgebra de Hopf semisimple de dimensión finita es automáticamente semisimple.
Se dice que una subálgebra A de Hopf es normal a la derecha en un álgebra de Hopf H si satisface la condición de estabilidad, ad r ( h ) ( A ) ⊆ A para todo h en H , donde el mapeo adjunto derecho ad r está definido por ad r ( h ) ( un ) = S ( h (1) ) ah (2) para todos una en a , h en h . De manera similar, una subálgebra A de Hopf se deja normal en H si es estable bajo el mapeo adjunto izquierdo definido por ad l ( h ) ( a ) = h (1) aS ( h (2) ). Las dos condiciones de normalidad son equivalentes si la antípoda S es biyectiva, en cuyo caso se dice que A es una subálgebra de Hopf normal.
Un normal de Hopf subálgebra A en H satisface la condición (de la igualdad de subconjuntos de H): HA + = A + H donde A + denota el núcleo de la counit en K . Esta condición de normalidad implica que HA + es un ideal de Hopf de H (es decir, un ideal de álgebra en el núcleo de la cuenta, una coalgebra coideal y estable bajo la antípoda). Como consecuencia, se tiene un cociente de álgebra de Hopf H / HA + y epimorfismo H → H / A + H , una teoría análoga a la de los subgrupos normales y los grupos de cocientes en la teoría de grupos . [9]
Órdenes de Hopf
A Hopf orden O sobre un dominio de integridad R con el campo de las fracciones K es un fin en un álgebra de Hopf H sobre K que está cerrada en virtud de las operaciones de álgebra y coalgebra: en particular, la Δ comultiplication mapas de O a O ⊗ O . [10]
Elementos grupales
Un elemento de tipo grupo es un elemento x distinto de cero tal que Δ ( x ) = x ⊗ x . Los elementos grupales forman un grupo con el inverso dado por la antípoda. [11] Un elemento primitivo x satisface Δ ( x ) = x ⊗1 + 1⊗ x . [12] [13]
Ejemplos de
Dependiendo de | Multiplicación | Cuenta | Antípoda | Conmutativa | Coconmutativo | Observaciones | |
---|---|---|---|---|---|---|---|
álgebra de grupo KG | grupo G | Δ ( g ) = g ⊗ g para todos los g en G | ε ( g ) = 1 para todo g en G | S ( g ) = g −1 para todo g en G | si y solo si G es abeliano | sí | |
funciones f de un grupo finito [14] a K , K G (con suma y multiplicación puntuales) | grupo finito G | Δ ( f ) ( x , y ) = f ( xy ) | ε ( f ) = f (1 G ) | S ( f ) ( x ) = f ( x −1 ) | sí | si y solo si G es abeliano | |
Funciones representativas en un grupo compacto | grupo compacto G | Δ ( f ) ( x , y ) = f ( xy ) | ε ( f ) = f (1 G ) | S ( f ) ( x ) = f ( x −1 ) | sí | si y solo si G es abeliano | A la inversa, todo álgebra de Hopf reducida involutiva conmutativa sobre C con una integral de Haar finita surge de esta manera, dando una formulación de la dualidad Tannaka-Kerin . [15] |
Funciones regulares en un grupo algebraico | Δ ( f ) ( x , y ) = f ( xy ) | ε ( f ) = f (1 G ) | S ( f ) ( x ) = f ( x −1 ) | sí | si y solo si G es abeliano | A la inversa, cada álgebra de Hopf conmutativa sobre un campo surge de un esquema de grupo de esta manera, dando una antiequivalencia de categorías. [dieciséis] | |
Álgebra tensorial T ( V ) | espacio vectorial V | Δ ( x ) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x , x en V , Δ (1) = 1 ⊗ 1 | ε ( x ) = 0 | S ( x ) = - x para todo x en 'T 1 ( V ) (y extendido a potencias de tensor superiores) | Si y solo si dim ( V ) = 0,1 | sí | El álgebra simétrica y el álgebra exterior (que son cocientes del álgebra tensorial) también son álgebras de Hopf con esta definición de comultiplicación, cuenta y antípoda. |
Álgebra envolvente universal U (g) | Álgebra de mentiras g | Δ ( x ) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x para cada x en g (esta regla es compatible con los conmutadores y, por lo tanto, se puede extender de forma única a todo U ) | ε ( x ) = 0 para todo x en g (nuevamente, extendido a U ) | S ( x ) = - x | si y solo si g es abeliano | sí | |
Álgebra de Hopf de Sweedler H = K [ c , x ] / c 2 = 1, x 2 = 0 y xc = - cx . | K es un campo con característica diferente de 2 | Δ ( c ) = c ⊗ c , Δ ( x ) = c ⊗ x + x ⊗ 1, Δ (1) = 1 ⊗ 1 | ε ( c ) = 1 y ε ( x ) = 0 | S ( c ) = c −1 = c y S ( x ) = - cx | No | No | El espacio vectorial subyacente es generado por {1, c , x , cx } y por lo tanto tiene dimensión 4. Este es el ejemplo más pequeño de un álgebra de Hopf que es tanto no conmutativa como no co-conmutativa. |
anillo de funciones simétricas [17] | en términos de funciones simétricas homogéneas completas h k ( k ≥ 1): Δ ( h k ) = 1 ⊗ h k + h 1 ⊗ h k −1 + ... + h k −1 ⊗ h 1 + h k ⊗ 1. | ε ( h k ) = 0 | S ( h k ) = (−1) k e k | sí | sí |
Tenga en cuenta que las funciones de un grupo finito se pueden identificar con el anillo de grupo, aunque es más natural pensar que son duales: el anillo de grupo consta de sumas finitas de elementos y, por lo tanto, se empareja con funciones del grupo al evaluar la función en la suma elementos.
Grupos de Cohomología de Lie
El álgebra de cohomología (sobre un campo ) de un grupo de Lie es un álgebra de Hopf: la multiplicación la proporciona el producto de taza y la multiplicación
por la multiplicación del grupo . Esta observación fue en realidad una fuente de la noción de álgebra de Hopf. Utilizando esta estructura, Hopf demostró un teorema de estructura para el álgebra de cohomología de grupos de Lie.
Teorema (Hopf) [18] Seaser un álgebra de Hopf coconmutativa graduada, conmutativa y de dimensión finita sobre un campo de característica 0. Entonces (como álgebra) es un álgebra exterior libre con generadores de grado impar.
Grupos cuánticos y geometría no conmutativa
Todos los ejemplos anteriores son conmutativos (es decir, la multiplicación es conmutativa ) o co-conmutativos (es decir, [19] Δ = T ∘ Δ donde el mapa de torsión [20] T : H ⊗ H → H ⊗ H está definido por T ( x ⊗ y ) = y ⊗ x ). Otras álgebras de Hopf interesantes son ciertas "deformaciones" o " cuantificaciones " de las del ejemplo 3 que no son ni conmutativas ni coconmutativas. Estas álgebras de Hopf a menudo se denominan grupos cuánticos , un término que hasta ahora solo se define de manera vaga. Son importantes en geometría no conmutativa , y la idea es la siguiente: un grupo algebraico estándar está bien descrito por su álgebra de Hopf estándar de funciones regulares; entonces podemos pensar en la versión deformada de este álgebra de Hopf como la descripción de un cierto grupo algebraico "no estándar" o "cuantificado" (que no es un grupo algebraico en absoluto). Si bien no parece haber una forma directa de definir o manipular estos objetos no estándar, aún se puede trabajar con sus álgebras de Hopf y, de hecho, se los identifica con sus álgebras de Hopf. De ahí el nombre de "grupo cuántico".
Teoría de la representación
Deje A un álgebra de Hopf, y dejar que M y N sean A -modules. Entonces, M ⊗ N también es un módulo A , con
para m ∈ M , n ∈ N y Δ ( a ) = ( a 1 , a 2 ). Además, podemos definir la representación trivial como el campo base K con
para m ∈ K . Finalmente, se puede definir la representación dual de A : si M es un módulo A y M * es su espacio dual, entonces
donde f ∈ M * y m ∈ M .
La relación entre Δ, ε y S asegura que ciertos homomorfismos naturales de los espacios vectoriales sean de hecho homomorfismos de los módulos A. Por ejemplo, los isomorfismos naturales de los espacios vectoriales M → M ⊗ K y M → K ⊗ M también son isomorfismos de los módulos A. Además, el mapa de espacios vectoriales M * ⊗ M → K con f ⊗ m → f ( m ) también es un homomorfismo de los módulos A. Sin embargo, el mapa M ⊗ M * → K no es necesariamente un homomorfismo de los módulos A.
Conceptos relacionados
Graded álgebras de Hopf se utilizan a menudo en la topología algebraica : son la estructura algebraica naturales en la suma directa de todos homología o cohomología grupos de un H-espacio .
Los grupos cuánticos localmente compactos generalizan las álgebras de Hopf y llevan una topología . El álgebra de todas las funciones continuas en un grupo de Lie es un grupo cuántico localmente compacto.
Las álgebras cuasi-Hopf son generalizaciones de las álgebras de Hopf, en las que la coasociatividad solo se mantiene en un giro. Se han utilizado en el estudio de las ecuaciones de Knizhnik-Zamolodchikov . [21]
Las álgebras multiplicadoras de Hopf introducidas por Alfons Van Daele en 1994 [22] son generalizaciones de las álgebras de Hopf donde se comultiplican desde un álgebra (con o sin unidad) al álgebra multiplicadora del álgebra del producto tensorial del álgebra consigo misma.
Las (co) álgebras de grupo de Hopf introducidas por VG Turaev en 2000 también son generalizaciones de las álgebras de Hopf.
Álgebras de Hopf débiles
Las álgebras de Hopf débiles , o grupos cuánticos, son generalizaciones de las álgebras de Hopf. Como las álgebras de Hopf, las álgebras de Hopf débiles forman una clase de álgebras auto-dual; es decir, si H es un álgebra de Hopf (débil), también lo es H *, el espacio dual de formas lineales en H (con respecto a la estructura álgebra-coalgebra obtenida del emparejamiento natural con H y su estructura coalgebra-álgebra). Un álgebra H de Hopf débil generalmente se considera un
- álgebra de dimensión finita y coalgebra con coproducto Δ: H → H ⊗ H y cuenta ε: H → k satisfaciendo todos los axiomas del álgebra de Hopf excepto posiblemente Δ (1) ≠ 1 ⊗ 1 o ε ( ab ) ≠ ε ( a ) ε ( b ) para algunos a, b en H . En su lugar, se requiere lo siguiente:
- para todos un , b , y c en H .
- H tiene una antípoda debilitada S : H → H que satisface los axiomas:
- para todo a en H (el lado derecho es la proyección interesante usualmente denotada por Π R ( a ) o ε s ( a ) con imagen de una subálgebra separable denotada por H R o H s );
- para todo a en H (otra proyección interesante usualmente denotada por Π R ( a ) o ε t ( a ) con imagen de un álgebra separable H L o H t , antiisomórfica a H L vía S );
- para todos una en H .
- Tenga en cuenta que si Δ (1) = 1 ⊗ 1, estas condiciones se reducen a las dos condiciones habituales en la antípoda de un álgebra de Hopf.
Los axiomas se eligen en parte de modo que la categoría de módulos H sea una categoría monoidal rígida . La unidad H -módulo es el álgebra separable H L mencionada anteriormente.
Por ejemplo, un álgebra grupoide finita es un álgebra de Hopf débil. En particular, el álgebra grupoide en [n] con un par de flechas invertibles e ij y e ji entre i y j en [ n ] es isomorfa al álgebra H de n x n matrices. La estructura débil del álgebra de Hopf en este H particular está dada por el coproducto Δ ( e ij ) = e ij ⊗ e ij , count ε ( e ij ) = 1 y antípoda S ( e ij ) = e ji . Las subálgebras separables H L y H R coinciden y son álgebras conmutativas no centrales en este caso particular (la subálgebra de matrices diagonales).
Las primeras contribuciones teóricas a las álgebras de Hopf débiles se encuentran en [23] así como en [24]
Algebroides de Hopf
Ver algebroid de Hopf
Analogía con grupos
Los grupos se pueden axiomatizar mediante los mismos diagramas (de forma equivalente, operaciones) que un álgebra de Hopf, donde G se toma como un conjunto en lugar de un módulo. En este caso:
- el campo K se reemplaza por el conjunto de 1 punto
- hay un recuento natural (mapa a 1 punto)
- hay una comultiplicación natural (el mapa diagonal)
- la unidad es el elemento de identidad del grupo
- la multiplicación es la multiplicación en el grupo
- la antípoda es la inversa
En esta filosofía, un grupo puede considerarse como un álgebra de Hopf sobre el " campo con un elemento ". [25]
Álgebras de Hopf en categorías monoidales trenzadas
La definición del álgebra de Hopf se extiende naturalmente a categorías monoidales trenzadas arbitrarias . [26] [27] Un álgebra de Hopf en tal categoría es un sextuple dónde es un objeto en , y
- (multiplicación),
- (unidad),
- (comultiplicación),
- (cuenta),
- (antípoda)
- son morfismos en tal que
- 1) el triple es un monoide en la categoría monoidal , es decir, los siguientes diagramas son conmutativos: [28]
- 2) el triple es un comonoide en la categoría monoidal , es decir, los siguientes diagramas son conmutativos: [28]
- 3) las estructuras de monoide y comonoide en son compatibles: la multiplicación y la unidad son morfismos de comonoides, y (esto es equivalente en esta situación) al mismo tiempo la multiplicación y el contador son morfismos de monoides; esto significa que los siguientes diagramas deben ser conmutativos: [29]
- el quíntuple con las propiedades 1), 2), 3) se llama bialgebra en la categoría ;
- 4) el diagrama de la antípoda es conmutativo:
Los ejemplos típicos son los siguientes.
- Grupos . En la categoría monoidalde conjuntos (con el producto cartesiano como el producto tensorial, y un singlete arbitrario, digamos, , como objeto unitario) un triple es un monoide en el sentido categórico si y solo si es un monoide en el sentido algebraico habitual , es decir, si las operaciones y comportarse como la multiplicación y la unidad habituales en (pero posiblemente sin la invertibilidad de los elementos ). Al mismo tiempo, un triple es un comonoide en el sentido categórico si es la operación diagonal (y la operación también se define de forma única: ). Y cualquier estructura de comonoide es compatible con cualquier estructura de monoide en el sentido de que los diagramas de la sección 3 de la definición siempre conmutan. Como corolario, cada monoide en naturalmente, puede considerarse como una bialgebra en , y viceversa. La existencia de la antípoda para tal bialgebra significa exactamente que cada elemento tiene un elemento inverso con respecto a la multiplicación . Así, en la categoría de conjuntosLas álgebras de Hopf son exactamente grupos en el sentido algebraico habitual.
- Álgebras clásicas de Hopf . En el caso especial cuando es la categoría de espacios vectoriales sobre un campo dado , las álgebras de Hopf en son exactamente las álgebras clásicas de Hopf descritas anteriormente .
- Álgebras funcionales sobre grupos . Las álgebras funcionales estándar , , , (de funciones continuas, suaves, holomórficas, regulares) en grupos son álgebras de Hopf en la categoría ( Ste ,) de espacios estereotipados , [30]
- Álgebras de grupo . El grupo de estereotipos álgebras , , , (de medidas, distribuciones, funcionales analíticos y corrientes) en grupos son álgebras de Hopf en la categoría ( Ste ,) de espacios estereotipados . [30] Estas álgebras de Hopf se utilizan en las teorías de dualidad para grupos no conmutativos . [31]
Ver también
- Álgebra de Hopf cuasitriangular
- Álgebra / analogía de conjuntos
- Teoría de la representación de las álgebras de Hopf
- Álgebra de Ribbon Hopf
- Superalgebra
- Supergrupo
- Álgebra de mentira anónica
- Álgebra de Hopf de Sweedler
- Álgebra de Hopf de permutaciones
- Teorema de Milnor-Moore
notas y referencias
Notas
- ^ Haldane, FDM; Ja, ZNC; Talstra, JC; Bernard, D .; Pasquier, V. (1992). "Simetría de Yangian de cadenas cuánticas integrables con interacciones de largo alcance y una nueva descripción de estados en la teoría de campos conforme". Cartas de revisión física . 69 (14): 2021-2025. Código Bibliográfico : 1992PhRvL..69.2021H . doi : 10.1103 / physrevlett.69.2021 . PMID 10046379 .
- ^ Plefka, J .; Derrame, F .; Torrielli, A. (2006). "Estructura del álgebra de Hopf de la matriz S de AdS / CFT". Physical Review D . 74 (6): 066008. arXiv : hep-th / 0608038 . Código Bibliográfico : 2006PhRvD..74f6008P . doi : 10.1103 / PhysRevD.74.066008 . S2CID 2370323 .
- ^ Abreu, Samuel; Britto, Ruth ; Duhr, Claude; Gardi, Einan (1 de diciembre de 2017). "Álgebra de Hopf esquemática de integrales de Feynman cortadas: el caso de un bucle". Revista de Física de Altas Energías . 2017 (12): 90. arXiv : 1704.07931 . Código Bib : 2017JHEP ... 12..090A . doi : 10.1007 / jhep12 (2017) 090 . ISSN 1029-8479 . S2CID 54981897 .
- ^ Underwood (2011) p.55
- ^ Underwood (2011) p.62
- ^ Dăscălescu, Năstăsescu y Raianu (2001). Prop. 4.2.6 . pag. 153. Parámetro desconocido
|book-title=
ignorado ( ayuda ) - ^ Dăscălescu, Năstăsescu y Raianu (2001). Observaciones 4.2.3 . pag. 151. Parámetro desconocido
|book-title=
ignorado ( ayuda ) - ^ Notas de conferencia de grupos cuánticos
- ^ Montgomery (1993) p. 36
- ^ Underwood (2011) p.82
- ^ Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna; Kirichenko, Vladimir V. (2010). Álgebras, anillos y módulos: álgebras de Lie y álgebras de Hopf . Estudios y monografías matemáticas. 168 . Sociedad Matemática Estadounidense . pag. 149. ISBN 978-0-8218-7549-0.
- ^ Mikhalev, Aleksandr Vasilʹevich; Pilz, Günter, eds. (2002). El manual conciso de álgebra . Springer-Verlag . pag. 307, C.42. ISBN 978-0792370727.
- ^ Abe, Eiichi (2004). Álgebras de Hopf . Cambridge Tracts in Mathematics. 74 . Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 59. ISBN 978-0-521-60489-5.
- ^ La finitud de G implica que K G ⊗ K G es naturalmente isomorfo a K G x G . Esto se utiliza en la fórmula anterior para la multiplicación. Para grupos infinitos G , K G ⊗ K G es un subconjunto propio de K G x G . En este caso, el espacio de funciones con soporte finitopuede dotarse de una estructura de álgebra de Hopf.
- ^ Hochschild, G (1965), Estructura de los grupos de Lie , Holden-Day, págs. 14-32
- ^ Jantzen, Jens Carsten (2003), Representaciones de grupos algebraicos , Encuestas y monografías matemáticas, 107 (2a ed.), Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3527-2, sección 2.3
- ^ Véase Michiel Hazewinkel, Funciones simétricas , funciones simétricas no conmutativas y funciones cuasimétricas , Acta Applicandae Mathematica, enero de 2003, volumen 75, número 1-3, págs. 55-83
- ^ Hopf, Heinz (1941). "Über die Topologie der Gruppen – Mannigfaltigkeiten und ihre Verallgemeinerungen". Ana. de Matemáticas . 2 (en alemán). 42 (1): 22–52. doi : 10.2307 / 1968985 . JSTOR 1968985 .
- ^ Underwood (2011) p.57
- ↑ Underwood (2011) p.36
- ^ Montgomery (1993) p. 203
- ^ Van Daele, Alfons (1994). "Álgebras de Hopf multiplicador" (PDF) . Transacciones de la American Mathematical Society . 342 (2): 917–932. doi : 10.1090 / S0002-9947-1994-1220906-5 .
- ^ Böhm, Gabriella; Nill, Florian; Szlachanyi, Kornel (1999). "Álgebras de Hopf débiles". J. Álgebra . 221 (2): 385–438. arXiv : matemáticas / 9805116 . doi : 10.1006 / jabr.1999.7984 . S2CID 14889155 .
- ^ Dmitri Nikshych, Leonid Vainerman, en: Nueva dirección en álgebras de Hopf, S. Montgomery y H.-J. Schneider, eds., Publicaciones MSRI, vol. 43, Cambridge, 2002, 211–262.
- ^ Grupo = Álgebra de Hopf «Seminario de blogs secretos , objetos de grupo y álgebras de Hopf , video de Simon Willerton.
- ^ Turaev y Virelizier 2017 , 6.2.
- ↑ Akbarov , 2009 , p. 482.
- ^ a b Aquí, , son las transformaciones naturales de la asociatividad, y de las unidades izquierda y derecha en la categoría monoidal .
- ^ Aquí es el morfismo de la unidad izquierda en , y la transformación natural de los functores que es único en la clase de transformaciones naturales de functores compuestos a partir de las transformaciones estructurales (asociatividad, unidades izquierda y derecha, transposición y sus inversas) en la categoría .
- ↑ a b Akbarov , 2003 , 10.3.
- ↑ Akbarov, 2009 .
Referencias
- Dăscălescu, Sorin; Năstăsescu, Constantin; Raianu, Șerban (2001), Álgebras de Hopf. Una introducción , Matemáticas puras y aplicadas, 235 (1a ed.), Marcel Dekker, ISBN 978-0-8247-0481-0, Zbl 0962.16026.
- Cartier, Pierre (2007), "A Primer of Hopf Algebras", en Cartier, P .; Moussa, P .; Julia, B .; Vanhove, P. (eds.), Frontiers in Number Theory, Physics, and Geometry , II , Berlín: Springer, págs. 537–615, doi : 10.1007 / 978-3-540-30308-4_12 , ISBN 978-3-540-30307-7
- Fuchs, Jürgen (1992), Álgebras de Affine Lie y grupos cuánticos. Una introducción con aplicaciones en la teoría de campo conforme , Cambridge Monographs on Mathematical Physics, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-48412-1, Zbl 0925.17031
- Heinz Hopf , Uber die Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ihrer Verallgemeinerungen, Annals of Mathematics 42 (1941), 22–52. Reimpreso en Selecta Heinz Hopf, págs. 119-151, Springer, Berlín (1964). SEÑOR4784 , Zbl 0025.09303
- Montgomery, Susan (1993), Álgebras de Hopf y sus acciones en los anillos , Serie de conferencias regionales en matemáticas, 82 , Providence, Rhode Island: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-0738-5, Zbl 0793.16029
- Street, Ross (2007), Quantum groups: A Path To Current Algebra , Australian Mathematical Society Lecture Series, 19 , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-69524-4, MR 2294803 , Zbl 1117.16031.
- Sweedler, Moss E. (1969), Álgebras de Hopf , Serie de notas de conferencias de matemáticas, WA Benjamin, Inc., Nueva York, ISBN 9780805392548, MR 0252485 , Zbl 0.194,32901
- Underwood, Robert G. (2011), Introducción a las álgebras de Hopf , Berlín: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-72765-3, Zbl 1234.16022
- Turaev, Vladimir; Virelizier, Alexis (2017), Categorías monoidales y teoría de campos topológicos , Progreso en matemáticas, 322 , Springer, doi : 10.1007 / 978-3-319-49834-8 , ISBN 978-3-319-49833-1.
- Akbarov, SS (2003). "Dualidad de Pontryagin en la teoría de espacios vectoriales topológicos y en álgebra topológica". Revista de Ciencias Matemáticas . 113 (2): 179–349. doi : 10.1023 / A: 1020929201133 . S2CID 115297067 .
- Akbarov, SS (2009). "Funciones holomorfas de tipo exponencial y dualidad para grupos Stein con componente algebraico conectado de identidad". Revista de Ciencias Matemáticas . 162 (4): 459–586. arXiv : 0806.3205 . doi : 10.1007 / s10958-009-9646-1 . S2CID 115153766 .