En matemáticas , la noción de estar integrado de forma compacta expresa la idea de que un conjunto o espacio está "bien contenido" dentro de otro. Existen versiones de este concepto apropiadas para la topología general y el análisis funcional .
Sea ( X , T ) un espacio topológico , y dejar que V y W sean subconjuntos de X . Decimos que V está integrado de forma compacta en W , y escribimos V ⊂⊂ W , si
Sean X e Y dos espacios vectoriales normativos con normas || • || X y || • || Y respectivamente, y supongamos que X ⊆ Y . Decimos que X está integrado de forma compacta en Y , y escribimos X ⊂⊂ Y , si
Si Y es un espacio de Banach , una definición equivalente es que el operador de incrustación (la identidad) i : X → Y es un operador compacto .
Cuando se aplica al análisis funcional, esta versión de incrustación compacta se usa generalmente con espacios de funciones de Banach . Varios de los teoremas de incrustación de Sobolev son teoremas de incrustación compactos. Cuando una incrustación no es compacta, puede poseer una propiedad relacionada, pero más débil, de cocompactancia .