Operador compacto

tipo de operador lineal continuo

En el análisis funcional , una rama de las matemáticas , un operador compacto es un operador lineal L desde un espacio de Banach X a otro espacio de Banach Y , de modo que la imagen debajo de L de cualquier subconjunto acotado de X es un subconjunto relativamente compacto (tiene cierre compacto ) de Y . Tal operador es necesariamente un operador acotado y, por lo tanto, continuo. ^[1]

Cualquier operador acotado L que tenga rango finito es un operador compacto; de hecho, la clase de operadores compactos es una generalización natural de la clase de operadores de rango finito en un entorno de dimensión infinita. Cuando Y es un espacio de Hilbert , es cierto que cualquier operador compacto es un límite de operadores de rango finito, ^{[2] de} modo que la clase de operadores compactos puede definirse alternativamente como el cierre del conjunto de operadores de rango finito en el topología de la norma . Si esto era cierto en general para los espacios de Banach (la propiedad de aproximación ) fue una cuestión sin resolver durante muchos años; en 1973 Per Enflodio un contraejemplo. ^[3]

El origen de la teoría de operadores compactos está en la teoría de ecuaciones integrales , donde los operadores integrales proporcionan ejemplos concretos de tales operadores. Una ecuación integral típica de Fredholm da lugar a un operador compacto K en espacios funcionales ; la propiedad de compacidad se muestra por equicontinuidad . El método de aproximación por operadores de rango finito es básico en la solución numérica de tales ecuaciones. La idea abstracta del operador Fredholm se deriva de esta conexión.

Formulaciones equivalentes

Un mapa lineal T  : X → Y entre dos espacios vectoriales topológicos se dice que es compacto si existe un entorno U del origen en X tal que T (U) es un subconjunto relativamente compacto de Y . ^[4]

Sean X e Y espacios normativos y T  : X → Y un operador lineal. Entonces las siguientes declaraciones son equivalentes:

• T es un operador compacto;
• la imagen de la bola unitaria de X debajo de T es relativamente compacta en Y ;
• la imagen de cualquier subconjunto acotado de X bajo T es relativamente compacta en Y ;
• existe una vecindad U de 0 en X y un subconjunto compacto tal que ;${\displaystyle V\subseteq Y}$${\displaystyle T(U)\subseteq V}$
• para cualquier secuencia acotada en X , la secuencia contiene una subsecuencia convergente.${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle (Tx_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

Si además Y es Banach, estas declaraciones también son equivalentes a:

• la imagen de cualquier subconjunto acotado de X bajo T está totalmente delimitado en Y .

Si un operador lineal es compacto, es fácil ver que está acotado y, por lo tanto, es continuo.

Propiedades importantes

A continuación, X , Y , Z , W son espacios de Banach, B ( X ,  Y ) es el espacio de operadores acotados de X a Y con la norma del operador , K ( X ,  Y ) es el espacio de operadores compactos de X a Y , B ( X ) = B ( X ,  X ), K ( X ) = K ( X ,  X ), es el operador de identidad en  X .${\displaystyle id_{X}}$

• K ( X ,  Y ) es un subespacio cerrado de B ( X ,  Y ) (en la topología normal): ^[5]
  • Es decir, suponga que T _n , n  ∈  N , sea una secuencia de operadores compactos de un espacio de Banach al otro, y suponga que T _n converge a T con respecto a la norma del operador . Entonces T también es compacto.
• Por el contrario, si X , Y son espacios de Hilbert, entonces cada operador compacto de X a Y es el límite de los operadores de rango finito. En particular, esto es falso para espacios generales de Banach X y Y .
• ${\displaystyle B(Y,Z)\circ K(X,Y)\circ B(W,X)\subseteq K(W,Z).}$  En particular, K ( X ) forma un ideal bilateral en B ( X ).
• Cualquier operador compacto es estrictamente singular , pero no al revés. ^[6]
• Un operador lineal acotado entre espacios de Banach es compacto si y solo si su adjunto es compacto ( teorema de Schauder ).
• Si T  : X → Y está acotado y compacto, entonces:
  • el cierre del rango de T es separable . ^{[5] [7]}
  • si el rango de T está cerrado en Y , entonces el rango de T es de dimensión finita. ^{[5] [7]}
• Si X es un espacio de Banach y existe un operador compacto acotado invertible T  : X → X entonces X es necesariamente de dimensión finita. ^[7]

Supongamos ahora que T  : X → X es un operador lineal compacto delimitada, X es un espacio de Banach, y es el adjunto o transposición de T .${\displaystyle T^{*}:X^{*}\to X^{*}}$

• Para cualquier T  ∈ K ( X ),    es un operador de Fredholm de índice 0. En particular,    es cerrado. Esto es esencial para desarrollar las propiedades espectrales de los operadores compactos. Se puede notar la similitud entre esta propiedad y el hecho de que, si M y N son subespacios de un espacio de Banach donde M es cerrado y N es de dimensión finita, entonces M + N también es cerrado.${\displaystyle \operatorname {Id} _{X}-T}$${\displaystyle \operatorname {Im} \,(\operatorname {Id} _{X}-T)}$
• Si S  : X → X es cualquier operador lineal acotado, ambos y son operadores compactos. ^[5]${\displaystyle S\circ T}$${\displaystyle T\circ S}$
• Si entonces el rango de está cerrado y el núcleo de es de dimensión finita, ¿dónde está el mapa de identidad? ^[5]${\displaystyle \lambda \neq 0}$${\displaystyle T-\lambda \operatorname {Id} _{X}}$${\displaystyle T-\lambda \operatorname {Id} _{X}}$${\displaystyle \operatorname {Id} _{X}:X\to X}$
• Si entonces los siguientes números son finitos e iguales: ^[5]${\displaystyle \lambda \neq 0}$

${\displaystyle \operatorname {dim} \operatorname {ker} \left(T-\lambda \operatorname {Id} _{X}\right)=\operatorname {dim} X/\operatorname {Im} \left(T-\lambda \operatorname {Id} _{X}\right)=\operatorname {dim} \operatorname {ker} \left(T*-\lambda \operatorname {Id} _{B^{*}}\right)=\operatorname {dim} X^{*}/\operatorname {Im} \left(T^{*}-\lambda \operatorname {Id} _{X^{*}}\right)}$

• Si y entonces es un valor propio de T y . ^[5]${\displaystyle \lambda \neq 0}$${\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle T^{*}}$
• El espectro de T , , es compacto, contable , y tiene a lo sumo un punto límite , lo que necesariamente ser 0 . ^[5]${\displaystyle \sigma (T)}$
• Si X es de dimensión infinita, entonces 0 pertenece al espectro de T (es decir ). ^[5]${\displaystyle 0\in \sigma (T)}$
• Por cada , el conjunto es finito y para cada distinto de cero , la gama de es un subconjunto propio de X . ^[5]${\displaystyle r>0}$${\displaystyle E_{r}=\left\{\lambda \in \sigma (T):|\lambda |>r\right\}}$${\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}$${\displaystyle T-\lambda \operatorname {Id} _{X}}$

Orígenes de la teoría de ecuaciones integrales

Una propiedad crucial de los operadores compactos es la alternativa de Fredholm , que afirma que la existencia de solución de ecuaciones lineales de la forma

${\displaystyle (\lambda K+I)u=f\,}$

(donde K es un operador compacto, f es una función dada y u es la función desconocida que se debe resolver) se comporta de manera muy similar a las dimensiones finitas. La teoría espectral de operadores compactos a continuación sigue, y que se debe a Frigyes Riesz (1918). Muestra que un operador compacto K en un espacio de Banach de dimensión infinita tiene un espectro que es un subconjunto finito de C que incluye 0, o el espectro es un subconjunto infinito numerable de C que tiene 0 como su único punto límite . Además, en cualquier caso, los elementos distintos de cero del espectro son valores propios de K con multiplicidades finitas (de modo que K- λ I tiene un núcleo de dimensión finita para todos los complejos λ ≠ 0).

Un ejemplo importante de un operador compacto es la incrustación compacta de espacios de Sobolev , que, junto con la desigualdad de Gårding y el teorema de Lax-Milgram , se puede utilizar para convertir un problema de valor de frontera elíptico en una ecuación integral de Fredholm. ^{[8] La} existencia de la solución y las propiedades espectrales se siguen de la teoría de los operadores compactos; en particular, un problema de valor de frontera elíptico en un dominio acotado tiene infinitos valores propios aislados. Una consecuencia es que un cuerpo sólido puede vibrar solo a frecuencias aisladas, dadas por los valores propios, y siempre existen frecuencias de vibración arbitrariamente altas.

Los operadores compactos de un espacio de Banach a sí mismos forman un ideal bilateral en el álgebra de todos los operadores acotados en el espacio. De hecho, los operadores compactos en un espacio de Hilbert separable de dimensión infinita forman un ideal máximo, por lo que el álgebra del cociente , conocida como álgebra de Calkin , es simple . De manera más general, los operadores compactos forman un operador ideal .

Operador compacto en espacios Hilbert

Artículo principal: operador compacto en el espacio Hilbert

Para los espacios de Hilbert, a continuación se da otra definición equivalente de operadores compactos.

Un operador en un espacio de Hilbert de dimensión infinita${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle T:{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}$

se dice que es compacto si se puede escribir en la forma

${\displaystyle T=\sum _{n=1}^{\infty }\lambda _{n}\langle f_{n},\cdot \rangle g_{n}\,,}$

donde y son conjuntos ortonormales (no necesariamente completos), y es una secuencia de números positivos con límite cero, denominados valores singulares del operador. Los valores singulares pueden acumularse solo en cero. Si la secuencia se vuelve estacionaria en cero, es decir para algunos  y todos  , entonces el operador tiene un rango finito, es decir , un rango de dimensión finita y se puede escribir como${\displaystyle \{f_{1},f_{2},\ldots \}}$${\displaystyle \{g_{1},g_{2},\ldots \}}$${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots }$${\displaystyle \lambda _{N+k}=0}$${\displaystyle N\in \mathbb {N} ,}$${\displaystyle k=1,2,\dots }$

${\displaystyle T=\sum _{n=1}^{N}\lambda _{n}\langle f_{n},\cdot \rangle g_{n}\,.}$

El corchete es el producto escalar en el espacio de Hilbert; la suma del lado derecho converge en la norma del operador.${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Una subclase importante de operadores compactos es la clase de trazas o operadores nucleares .

Operadores completamente continuos

Sean X e Y espacios de Banach. Un operador lineal acotado T  : X → Y se llama completamente continuo si, para cada secuencia débilmente convergente de X , la secuencia es norm-convergente en Y ( Conway 1985 , §VI.3). Los operadores compactos en un espacio de Banach son siempre completamente continuos. Si X es un espacio de Banach reflexivo , entonces todo operador completamente continuo T  : X → Y es compacto. ${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle (Tx_{n})}$

De manera algo confusa, los operadores compactos a veces se denominan "completamente continuos" en la literatura antigua, aunque no son necesariamente completamente continuos según la definición de esa frase en la terminología moderna.

Ejemplos

• Cada operador de rango finito es compacto.
• Para una secuencia (t _n ) que converge a cero, el operador de multiplicación (Tx) _n = t _n x _n es compacto.${\displaystyle \ell ^{p}}$
• Para algunos g fijos  ∈  C ([0, 1];  R ), defina el operador lineal T de C ([0, 1];  R ) a C ([0, 1];  R ) por

${\displaystyle (Tf)(x)=\int _{0}^{x}f(t)g(t)\,\mathrm {d} t.}$

Que el operador T sea ​​de hecho compacto se deduce del teorema de Ascoli .

• De manera más general, si Ω es cualquier dominio en R ⁿ y el núcleo integral k  : Ω × Ω →  R es un núcleo de Hilbert-Schmidt , entonces el operador T en L ² (Ω;  R ) definido por

${\displaystyle (Tf)(x)=\int _{\Omega }k(x,y)f(y)\,\mathrm {d} y}$

es un operador compacto.

• Según el lema de Riesz , el operador de identidad es un operador compacto si y solo si el espacio es de dimensión finita. ^[9]

Ver también

• Incrustación compacta
• Operador compacto en el espacio Hilbert
• Alternativa de Fredholm
• Ecuaciones integrales de Fredholm
• Operador de Fredholm
• Teoría espectral de operadores compactos
• Operador estrictamente singular

Notas

1. Conway 1985 , sección 2.4
2. Conway 1985 , sección 2.4
3. Enflo 1973
4. Schaefer y Wolff , 1999 , p. 98.
5. Rudin 1991 , págs. 103-115.
6. NL Carothers, Un curso corto sobre la teoría del espacio de Banach , (2005) Textos de estudiantes de la Sociedad Matemática de Londres 64 , Cambridge University Press.
7. Conway , 1990 , págs. 173-177.
8. William McLean, Sistemas fuertemente elípticos y ecuaciones integrales de límites, Cambridge University Press, 2000
9. Kreyszig 1978 , Teoremas 2.5-3, 2.5-5.

Referencias

• Conway, John B. (1985). Un curso de análisis funcional . Springer-Verlag. Sección 2.4. ISBN 978-3-540-96042-3.
• Conway, John B. (1990). Un curso de análisis funcional . Textos de Posgrado en Matemáticas . 96 (2ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908 .
• Enflo, P. (1973). "Un contraejemplo al problema de aproximación en los espacios de Banach" . Acta Mathematica . 130 (1): 309–317. doi : 10.1007 / BF02392270 . ISSN  0001-5962 . Señor  0402468 .
• Kreyszig, Erwin (1978). Análisis funcional introductorio con aplicaciones . John Wiley e hijos. ISBN 978-0-471-50731-4.
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• Lax, Peter (2002). Análisis funcional . Nueva York: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-55604-6. OCLC  47767143 .
• Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Renardy, M .; Rogers, RC (2004). Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales . Textos en Matemática Aplicada. 13 (2ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag . pag. 356. ISBN 978-0-387-00444-0. (Sección 7.5)
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional . Serie Internacional de Matemática Pura y Aplicada. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios, distribuciones y núcleos vectoriales topológicos . Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .

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