En la teoría métrica de fracciones continuas regulares , el k- ésimo cociente completo ζ k se obtiene ignorando los primeros k denominadores parciales a i . Por ejemplo, si una fracción continua regular viene dada por
entonces los cocientes completos sucesivos ζ k vienen dados por
Una relación recursiva
De la definición dada arriba podemos deducir inmediatamente que
o equivalente,
Cocientes completos y convergentes de x
Denotando los sucesivos convergentes de la fracción continua regular x = [ a 0 ; a 1 , a 2 ,…] por A 0 , A 1 / B 1 , A 2 / B 2 ,… (como se explica con más detalle en las fórmulas de recurrencia fundamental del artículo ), se puede demostrar que
para todo k ≥ 0.
Este resultado se puede entender mejor si se recuerda que los sucesivos convergentes de una fracción continua regular infinita se acercan al valor x en una especie de patrón en zig-zag:
de modo que cuando k es par tenemos A k / B k < x < A k +1 / B k +1 , y cuando k es impar tenemos A k +1 / B k +1 < x < A k / B k . En cualquier caso, el k + 1er cociente completo ζ k +1 es el número real único que expresa x en forma de semiconvergente .
Cocientes completos y números reales equivalentes
Una relación de equivalencia definida por LFT
Considere el conjunto de transformaciones fraccionarias lineales (LFT) definido por
donde una , b , c , y d son números enteros , y ad - bc = ± 1. Dado que este conjunto de LFT contiene un elemento de identidad (0 + x ) / 1, y dado que está cerrado bajo composición de funciones , y cada miembro del conjunto tiene una inversa en el conjunto, estas LFT forman un grupo (la operación de grupo es composición de funciones), GL (2, Z ) .
Podemos definir una relación de equivalencia sobre el conjunto de números reales mediante este grupo de transformaciones fraccionarias lineales. Diremos que dos números reales x e y son equivalentes (escrito x ~ y ) si
para algunos números enteros a , b , c , y d tal que ad - bc = ± 1.
Claramente, esta relación es simétrica, reflexiva y transitiva, por lo que es una relación de equivalencia y puede usarse para separar los números reales en clases de equivalencia . Todos los números racionales son equivalentes, porque cada número racional es equivalente a cero. ¿Qué se puede decir de los números irracionales ? ¿También pertenecen a una sola clase de equivalencia?
Un teorema sobre números irracionales "equivalentes"
Dos números irracionales x e y son equivalentes bajo este esquema, si y sólo si los infinitamente largas "colas" en sus expansiones como fracciones continuas regulares son exactamente los mismos. Más precisamente, se puede demostrar el siguiente teorema.
Vamos x y y haber dos números irracionales (reales), y dejar que el k ésimo cociente completa en las expansiones fracción continua regulares de x y y estar indicados por ζ k y ψ k , respectivamente, entonces x ~ y (bajo la equivalencia se define en la sección anterior), si y sólo si no son enteros positivos m y n tales que ζ m = ψ n .
Un ejemplo
La proporción áurea φ es el número irracional con la expansión más simple posible como una fracción continua regular: φ = [1; 1, 1, 1,…]. El teorema nos dice primero que si x es cualquier número real cuya expansión como una fracción continua regular contiene la cadena infinita [1, 1, 1, 1,…], entonces hay números enteros a , b , c y d (con ad - bc = ± 1) tal que
A la inversa, si una , b , c , y d son números enteros (con ad - bc = ± 1), entonces la expansión continua fracción regular de todo número real y que puede ser expresado en la forma
finalmente llega a una "cola" que se parece a la fracción continua regular de φ.
Referencias
- Rockett, Andrew M .; Szüsz, Peter (1992). Fracciones continuas . World Scientific. págs. 4–8 . ISBN 981-02-1052-3.