En matemáticas , una transformación fraccionaria lineal es, en términos generales, una transformación de la forma
que tiene una inversa . La definición precisa depende de la naturaleza de a , b , c , d y z . En otras palabras, una transformación fraccionaria lineal es una transformación que está representada por una fracción cuyo numerador y denominador son lineales .
En la configuración más básica, a , b , c , d , y z son números complejos (en cuyo caso la transformación también se llama transformación de Möbius ), o más generalmente elementos de un campo . La condición de invertibilidad es entonces ad - bc ≠ 0 . Sobre un campo, una transformación fraccionaria lineal es la restricción al campo de una transformación proyectiva u homografía de la línea proyectiva .
Cuando a , b , c , d son números enteros (o, más generalmente, pertenecen a un dominio integral ), se supone que z es un número racional (o pertenece al campo de fracciones del dominio integral. En este caso, el La condición de invertibilidad es que ad - bc debe ser una unidad del dominio (es decir1 o−1 en el caso de números enteros). [1]
En la configuración más general, a , b , c , d y z son matrices cuadradas o, más generalmente, elementos de un anillo . Un ejemplo de tal transformación fraccional lineal es la transformada de Cayley , que se definió originalmente en el anillo de la matriz real de 3 x 3 .
Las transformaciones lineales fraccionarias se usan ampliamente en diversas áreas de las matemáticas y sus aplicaciones a la ingeniería, como la geometría clásica , la teoría de números (se usan, por ejemplo, en la prueba de Wiles del último teorema de Fermat ), la teoría de grupos , la teoría de control .
Definición general
En general, una transformación fraccional lineal es una homografía de P ( A ), la línea de proyectivo sobre un anillo A . Cuando A es un anillo conmutativo , entonces una transformación fraccionaria lineal tiene la forma familiar
donde a , b , c , d son elementos de A tales que ad - bc es una unidad de A (es decir, ad - bc tiene un inverso multiplicativo en A )
En un anillo no conmutativo A , con ( z, t ) en A 2 , las unidades u determinan una relación de equivalencia Una clase de equivalencia en la línea proyectiva sobre A se escribe U [ z, t ] donde los corchetes denotan coordenadas proyectivas . Entonces, las transformaciones fraccionarias lineales actúan a la derecha de un elemento de P ( A ):
El anillo está incrustado en su línea proyectiva por z → U [ z , 1], por lo que t = 1 recupera la expresión habitual. Esta transformación fraccional lineal está bien definida ya que U [ za + tb , zc + td ] no depende de qué elemento se seleccione de su clase de equivalencia para la operación.
Las transformaciones lineales fraccionarias forman un grupo , denotado
El grupo de las transformaciones fraccionarias lineales se llama grupo modular . Ha sido ampliamente estudiado debido a sus numerosas aplicaciones a la teoría de números , que incluyen, en particular, la demostración de Wiles del último teorema de Fermat .
Uso en geometría hiperbólica
En el plano complejo, un círculo generalizado es una línea o un círculo. Cuando se completa con el punto en el infinito, los círculos generalizados en el plano corresponden a círculos en la superficie de la esfera de Riemann , una expresión de la línea proyectiva compleja. Las transformaciones lineales fraccionarias permutan estos círculos en la esfera y los puntos finitos correspondientes de los círculos generalizados en el plano complejo.
Para construir modelos del plano hiperbólico, se utilizan el disco unitario y el semiplano superior para representar los puntos. A estos subconjuntos del plano complejo se les proporciona una métrica con la métrica de Cayley-Klein . Luego, la distancia entre dos puntos se calcula usando el círculo generalizado a través de los puntos y perpendicular al límite del subconjunto usado para el modelo. Este círculo generalizado interseca el límite en otros dos puntos. Los cuatro puntos se utilizan en la relación cruzada que define la métrica de Cayley-Klein. Las transformaciones fraccionarias lineales dejan invariante la relación cruzada, por lo que cualquier transformación fraccional lineal que deje estable el disco unitario o los semiplanos superiores es una isometría del espacio métrico del plano hiperbólico . Desde que Henri Poincaré explicó estos modelos, han recibido su nombre: el modelo de disco de Poincaré y el modelo de medio plano de Poincaré . Cada modelo tiene un grupo de isometrías que es un subgrupo del grupo de Mobius : el grupo de isometría para el modelo de disco es SU (1, 1) donde las transformaciones fraccionarias lineales son "unitarias especiales", y para el semiplano superior la isometría grupo es PSL (2, R), un grupo lineal proyectivo de transformaciones fraccionarias lineales con entradas reales y determinante igual a uno. [2]
Uso en matemáticas superiores
Las transformaciones de Möbius aparecen comúnmente en la teoría de fracciones continuas y en la teoría analítica de números de curvas elípticas y formas modulares , ya que describe los automorfismos del semiplano superior bajo la acción del grupo modular . También proporciona un ejemplo canónico de fibración de Hopf , donde el flujo geodésico inducido por la transformación fraccional lineal descompone el espacio proyectivo complejo en múltiples estables e inestables , con los horociclos que aparecen perpendiculares a las geodésicas. Ver flujo de Anosov para un ejemplo trabajado de la fibración: en este ejemplo, las geodésicas están dadas por la transformada lineal fraccional
con un , b , c y d real, con. En términos generales, la variedad central es generada por las transformaciones parabólicas , la variedad inestable por las transformaciones hiperbólicas y la variedad estable por las transformaciones elípticas.
Uso en teoría de control
Las transformaciones lineales fraccionales se utilizan ampliamente en la teoría de control para resolver problemas de relación planta-controlador en ingeniería mecánica y eléctrica . [3] [4] El procedimiento general de combinar transformaciones fraccionarias lineales con el producto estrella de Redheffer permite aplicarlas a la teoría de la dispersión de las ecuaciones diferenciales generales, incluido el enfoque de la matriz S en la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos, la dispersión de ondas acústicas en los medios (por ejemplo, termoclinas y submarinos en los océanos, etc.) y el análisis general de los estados de dispersión y límites en ecuaciones diferenciales. Aquí, los componentes de la matriz de 3x3 se refieren a los estados de entrada, límite y salida. Quizás la aplicación de ejemplo más simple de transformaciones fraccionarias lineales ocurre en el análisis del oscilador armónico amortiguado . Otra aplicación elemental es la obtención de la forma normal de Frobenius , es decir, la matriz compañera de un polinomio.
Propiedad conforme
Los anillos conmutativos de números de división complejo y números duales unirse a los ordinarios números complejos como anillos que expresan ángulo y la "rotación". En cada caso, el mapa exponencial aplicado al eje imaginario produce un isomorfismo entre grupos de un parámetro en ( A , +) y en el grupo de unidades ( U , ×): [5]
El "ángulo" y es un ángulo hiperbólico , una pendiente o un ángulo circular según el anillo anfitrión.
Se muestra que las transformaciones lineales fraccionales son mapas conformes al considerar sus generadores : inversión multiplicativa z → 1 / z y transformaciones afines z → az + b . La conformidad se puede confirmar mostrando que todos los generadores son conformes. La traslación z → z + b es un cambio de origen y no hace ninguna diferencia con el ángulo. Para ver que z → z es conforme, tenga en cuenta la descomposición polar de una y z . En cada caso, el ángulo de a se suma al de z, lo que da como resultado un mapa conforme. Finalmente, la inversión es conforme ya que z → 1 / z envía
Ver también
- Programación lineal-fraccionaria
- Métodos H-infinito en la teoría de control
Referencias
- ^ NJ Young (1984) "Transformaciones fraccionarias lineales en anillos y módulos" , Álgebra lineal y sus aplicaciones 56: 251–90
- ^ CL Siegel (A. Shenitzer y M. Tretkoff, traductores) (1971) Temas de teoría de funciones complejas , volumen 2, Wiley-Interscience ISBN 0-471-79080 X
- ^ John Doyle, Andy Packard, Kemin Zhou, "Revisión de LFT, LMI y mu", (1991) Actas de la 30ª Conferencia sobre decisión y control [1]
- ^ Juan C. Cockburn, "Realizaciones multidimensionales de sistemas con incertidumbre paramétrica" [2]
- ^ Kisil, Vladimir V. (2012). Geometría de las transformaciones de Möbius. Acciones elípticas, parabólicas e hiperbólicas de SL (2, R) . Londres: Imperial College Press. pag. xiv + 192. doi : 10.1142 / p835 . ISBN 978-1-84816-858-9. Señor 2977041 .
- BA Dubrovin, AT Fomenko, SP Novikov (1984) Modern Geometry - Methods and Applications , volumen 1, capítulo 2, §15 Transformaciones conformales de espacios euclidianos y pseudoeuclidianos de varias dimensiones, Springer-VerlagISBN 0-387-90872-2 .
- Geoffry Fox (1949) Teoría elemental de una variable hipercompleja y teoría del mapeo conforme en el plano hiperbólico , Tesis de maestría, Universidad de Columbia Británica .
- PG Gormley (1947) "Proyección estereográfica y el grupo fraccional lineal de transformaciones de cuaterniones", Actas de la Real Academia Irlandesa , Sección A 51: 67-85.
- AE Motter y MAF Rosa (1998) "Cálculo hiperbólico", Avances en álgebras de Clifford aplicadas 8 (1): 109 a 28, §4 Transformaciones conformales, página 119.
- Tsurusaburo Takasu (1941) Gemeinsame Behandlungsweise der elliptischen konformen, hyperbolischen konformen und parabolischen konformen Differentialgeometrie, 2 , Proceedings of the Imperial Academy 17 (8): 330–8, enlace del Proyecto Euclides , MR14282
- Isaak Yaglom (1968) Números complejos en geometría , páginas 130 y 157, Academic Press