Espacio uniforme
En el campo matemático de la topología , un espacio uniforme es un conjunto con una estructura uniforme . [se necesita aclaración ] Los espacios uniformes son espacios topológicos con estructura adicional que se utiliza para definir propiedades uniformes tales como integridad , continuidad uniforme y convergencia uniforme . Los espacios uniformes generalizan espacios métricos y grupos topológicos , pero el concepto está diseñado para formular los axiomas más débiles necesarios para la mayoría de las pruebas en análisis .
Además de las propiedades habituales de una estructura topológica, en un espacio uniforme se formalizan las nociones de cercanía relativa y cercanía de puntos. En otras palabras, ideas como " x está más cerca de una que Y es b " tiene sentido en espacios uniformes. En comparación, en un espacio topológico general, dados los conjuntos A, B , es significativo decir que un punto x está arbitrariamente cerca de A (es decir, en el cierre de A ), o quizás que A es un vecindario más pequeño de x que B, pero las nociones de cercanía de puntos y cercanía relativa no se describen bien solo por la estructura topológica.
Hay tres definiciones equivalentes para un espacio uniforme. Todos ellos constan de un espacio dotado de una estructura uniforme.
Esta definición adapta la presentación de un espacio topológico en términos de sistemas de vecindad . Una colección no vacía de subconjuntos es unestructura uniforme (o unauniformidad ) si satisface los siguientes axiomas:
La no vacío de Φ tomado junto con (2) y (3) establece que Φ es un filtro en X × X . Si se omite la última propiedad, llamamos al espacio cuasiuniforme . Los elementos U de Φ se llaman vecindarios o séquitos de la palabra francesa para alrededores .
Generalmente se escribe U [ x ] = { y : ( x , y ) ∈ U } = pr 2 ( U ∩ ({ x } × X )) , donde U ∩ ({ x } × X ) es la sección transversal vertical de U y pr 2 es la proyección sobre la segunda coordenada. En un gráfico, se dibuja un séquito típico como una mancha que rodea la diagonal " y = x "; todas las diferentes U [ x ]Forman las secciones transversales verticales. Si ( X , Y ) ∈ U , se dice que X e Y son T -cerca . De manera similar, si todos los pares de puntos en un subconjunto A de X son U -cerrados (es decir, si A ×; A está contenido en U ), A se llama U -pequeña . Un séquito U es simétrico si ( x , y ) ∈ U precisamente cuando ( y, X ) ∈ U . Los primeros axioma que cada punto es T -cerca de sí mismo para cada entorno U . El tercer axioma garantiza que ser "tanto U- close como V- close" es también una relación de cercanía en la uniformidad. El cuarto axioma establece que por cada séquito U hay un séquito V que es "no más de la mitad de grande". Finalmente, el último axioma establece que la propiedad "cercanía" con respecto a una estructura uniforme es simétrica en x e y .