Dominio integralmente cerrado

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En álgebra conmutativa , un dominio A integralmente cerrado es un dominio integral cuyo cierre integral en su campo de fracciones es A mismo. En otras palabras, esto significa que si x es un elemento del campo de fracciones de A que es la raíz de un polinomio monico con coeficientes en A, entonces x es en sí mismo un elemento de A. Muchos dominios bien estudiados están integralmente cerrados: campos , el anillo de números enteros Z , dominios de factorización únicos yLos anillos locales regulares están todos integralmente cerrados.

Sea A un dominio integralmente cerrado con un campo de fracciones K y sea L una extensión de campo de K. Entonces x ∈ L es integral sobre A si y solo si es algebraico sobre K y su polinomio mínimo sobre K tiene coeficientes en A. ^[1] En particular, esto significa que cualquier elemento de L integral sobre A es raíz de un polinomio monico en A [ X ] que esirreductible en K [ X ].

Si A es un dominio contenido en un campo K, podemos considerar el cierre integral de A en K (es decir, el conjunto de todos los elementos de K que son integrales sobre A ). Este cierre integral es un dominio integralmente cerrado.

Los dominios integralmente cerrados también juegan un papel en la hipótesis del teorema descendente . El teorema establece que si A ⊆ B es una extensión integral de dominios y A es un dominio integralmente cerrado, entonces la propiedad descendente es válida para la extensión A ⊆ B.

Para dar un no-ejemplo, ^[4] sea k un campo y ( A es la subálgebra generada por t ² y t ^3. ) A no es integralmente cerrado: tiene el campo de fracciones y el polinomio mónico en la variable X tiene raíz t que está en el campo de las fracciones pero no en A. Esto está relacionado con el hecho de que la curva plana tiene una singularidad en el origen.${\ Displaystyle A = k [t ^ {2}, t ^ {3}] \ subconjunto k [t]}$${\ Displaystyle k (t)}$${\ Displaystyle X ^ {2} -t ^ {2}}$${\ Displaystyle Y ^ {2} = X ^ {3}}$

Otro dominio que no está integralmente cerrado es ; no contiene el elemento de su campo de fracciones, lo que satisface el polinomio mónico .${\ Displaystyle A = \ mathbb {Z} [{\ sqrt {5}}]}$${\ Displaystyle {\ frac {{\ sqrt {5}} + 1} {2}}}$${\ Displaystyle X ^ {2} -X-1 = 0}$

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