En álgebra conmutativa , una rama de las matemáticas , subir y bajar son términos que se refieren a ciertas propiedades de cadenas de ideales primos en extensiones integrales .
La frase subiendo se refiere al caso en que una cadena puede extenderse por " inclusión hacia arriba ", mientras que hacia abajo se refiere al caso en que una cadena puede extenderse por "inclusión hacia abajo".
Los principales resultados son los teoremas de Cohen-Seidenberg , que fueron demostrados por Irvin S. Cohen y Abraham Seidenberg . Estos se conocen como teoremas de subida y bajada .
Subiendo y bajando
Sea A ⊆ B una extensión de anillos conmutativos .
Los teoremas ascendente y descendente dan condiciones suficientes para que una cadena de ideales primos en B , cada miembro de los cuales se encuentra sobre miembros de una cadena más larga de ideales primos en A , pueda extenderse a la longitud de la cadena. de ideales primos de A .
Tumbado e incomparable
Primero, arreglamos algo de terminología. Si y son ideales primos de A y B , respectivamente, tales que
(tenga en cuenta que es automáticamente un ideal primo de A ) entonces decimos que yace debajo y eso se acuesta . En general, se dice que una extensión de anillo A ⊆ B de anillos conmutativos satisface la propiedad de reposo si cada ideal primode A se encuentra bajo algún ideal primordialde B .
Se dice que la extensión A ⊆ B satisface la propiedad de incomparabilidad si siempre que y son primos distintos de B que se encuentran sobre un primoen A , entonces ⊈ y ⊈ .
Subiendo
Se dice que la extensión del anillo A ⊆ B satisface la propiedad de subida si siempre que
es una cadena de ideales primarios de A y
( m < n ) es una cadena de ideales primos de B tal que para cada 1 ≤ i ≤ m , se acuesta , entonces la última cadena se puede extender a una cadena
tal que para cada 1 ≤ i ≤ n , se acuesta .
En ( Kaplansky 1970 ) se muestra que si una extensión A ⊆ B satisface la propiedad de subida, también satisface la propiedad de reposo.
Bajando
Se dice que la extensión del anillo A ⊆ B satisface la propiedad de descenso si siempre que
es una cadena de ideales primarios de A y
( m < n ) es una cadena de ideales primos de B tal que para cada 1 ≤ i ≤ m , se acuesta , entonces la última cadena se puede extender a una cadena
tal que para cada 1 ≤ i ≤ n , se acuesta .
Existe una generalización del caso de extensión de anillo con morfismos de anillo. Sea f : A → B un homomorfismo de anillo (unital) de modo que B sea una extensión de anillo de f ( A ). Entonces f se dice que satisfacer la propiedad va en marcha si la propiedad va arriba es válida para f ( A ) en B .
Del mismo modo, si B es una extensión de anillo de f ( A ), entonces f se dice para satisfacer la propiedad de ir hacia abajo si el va-down propiedad vale para f ( A ) en B .
En el caso de extensiones de anillo ordinarias como A ⊆ B , el mapa de inclusión es el mapa pertinente.
Teoremas de subir y bajar
Los enunciados habituales de los teoremas de subida y bajada se refieren a una extensión de anillo A ⊆ B :
- (Subiendo) Si B es una extensión integral de A , entonces la extensión satisface la propiedad ascendente (y por lo tanto la propiedad de reposo) y la propiedad de incomparabilidad.
- (Bajando) Si B es una extensión integral de A , y B es un dominio, y A está integralmente cerrado en su campo de fracciones, entonces la extensión (además de subir, recostarse e incomparabilidad) satisface la -abajo de la propiedad.
Hay otra condición suficiente para la propiedad de bajada:
- Si A ⊆ B es una extensión plana de anillos conmutativos, entonces se mantiene la propiedad de descenso. [1]
Demostración : [2] Sea p 1 ⊆ p 2 los ideales primos de A y sea q 2 un ideal primo de B tal que q 2 ∩ A = p 2 . Deseamos demostrar que hay un ideal primo q 1 de B contenido en q 2 tal que q 1 ∩ A = p 1 . Dado que A ⊆ B es una extensión plana de anillos, se deduce que A p 2 ⊆ B q 2 es una extensión plana de anillos. De hecho, A p 2 ⊆ B q 2 es una extensión fielmente plana de anillos ya que el mapa de inclusión A p 2 → B q 2 es un homomorfismo local. Por lo tanto, el mapa inducido en espectros Spec ( B q 2 ) → Spec ( A p 2 ) es sobreyectivo y existe un ideal primo de B q 2 que se contrae con el ideal primo p 1 A p 2 de A p 2 . La contracción de este ideal primo de B q 2 a B es un ideal primo q 1 de B contenido en q 2 que se contrae ap 1 . La prueba está completa. QED
Referencias
- Atiyah, MF e IG Macdonald , Introducción al álgebra conmutativa , Perseus Books, 1969, ISBN 0-201-00361-9 MR242802
- Winfried Bruns; Jürgen Herzog, anillos de Cohen-Macaulay . Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii + 403 pp. ISBN 0-521-41068-1
- Cohen, IS; Seidenberg, A. (1946). "Ideales primarios y dependencia integral" . Toro. Amer. Matemáticas. Soc . 52 (4): 252-261. doi : 10.1090 / s0002-9904-1946-08552-3 . Señor 0015379 .
- Kaplansky, Irving , anillos conmutativos , Allyn y Bacon, 1970.
- Matsumura, Hideyuki (1970). Álgebra conmutativa . WA Benjamin. ISBN 978-0-8053-7025-6.
- Sharp, RY (2000). "13 Dependencia integral de subanillos (13.38 El teorema ascendente, pp. 258-259; 13.41 El teorema descendente, pp. 261-262)". Pasos en álgebra conmutativa . Textos estudiantiles de la London Mathematical Society. 51 (Segunda ed.). Cambridge: Cambridge University Press. págs. xii + 355. ISBN 0-521-64623-5. Señor 1817605 .