En matemáticas , un dominio de factorización único ( UFD ) (también llamado a veces anillo factorial siguiendo la terminología de Bourbaki ) es un anillo en el que se cumple un enunciado análogo al teorema fundamental de la aritmética . Específicamente, un UFD es un dominio integral (un anillo conmutativo no trivial en el que el producto de dos elementos distintos de cero es distinto de cero) en el que cada elemento no unitario distinto de cero puede escribirse como un producto de elementos primos (o elementos irreductibles ), únicamente a pedido y unidades.
Ejemplos importantes de UFD son los números enteros y los anillos polinomiales en una o más variables con coeficientes que provienen de los números enteros o de un campo .
Los dominios de factorización únicos aparecen en la siguiente cadena de inclusiones de clases :
Definición
Formalmente, un dominio de factorización único se define como un dominio integral R en el que cada elemento x distinto de cero de R puede escribirse como un producto (un producto vacío si x es una unidad) de elementos irreducibles p i de R y una unidad u :
- x = u p 1 p 2 ⋅⋅⋅ p n con n ≥ 0
y esta representación es única en el sentido siguiente: Si q 1 , ..., q m son elementos irreducibles de R y W es una unidad de tal manera que
- x = w q 1 q 2 ⋅⋅⋅ q m con m ≥ 0,
entonces m = n , y existe un mapa biyectivo φ : {1, ..., n } → {1, ..., m } tal que p i está asociado a q φ ( i ) para i ∈ {1, ..., n }.
La parte de unicidad suele ser difícil de verificar, por lo que la siguiente definición equivalente es útil:
- Un dominio de factorización única es un dominio de integridad R en el que cada elemento distinto de cero se puede escribir como un producto de una unidad y elementos principales de R .
Ejemplos de
La mayoría de los anillos familiares de las matemáticas elementales son UFD:
- Todos los dominios ideales principales , por tanto, todos los dominios euclidianos , son UFD. En particular, los enteros (ver también el teorema fundamental de la aritmética ), los enteros de Gauss y los enteros de Eisenstein son UFD.
- Si R es un UFD, entonces también lo es R [ X ], el anillo de los polinomios con coeficientes en R . A menos que R sea un campo, R [ X ] no es un dominio ideal principal. Por inducción, un anillo polinomial en cualquier número de variables sobre cualquier UFD (y en particular sobre un campo o sobre los números enteros) es un UFD.
- El anillo formal de la serie de potencias K [[ X 1 , ..., X n ]] sobre un campo K (o más generalmente sobre un UFD regular como un PID) es un UFD. Por otro lado, el anillo de la serie de potencia formal sobre un UFD no necesita ser un UFD, incluso si el UFD es local. Por ejemplo, si R es la localización de k [ x , y , z ] / ( x 2 + y 3 + z 7 ) en el ideal primo ( x , y , z ) entonces R es un anillo local que es un UFD, pero el anillo formal de la serie de potencias R [[ X ]] sobre R no es un UFD.
- El teorema de Auslander-Buchsbaum establece que todo anillo local regular es un UFD.
- es una UFD para todos los enteros 1 ≤ n ≤ 22, pero no para n = 23.
- Mori demostró que si la finalización de un anillo de Zariski , como un anillo local de Noetherian , es un UFD, entonces el anillo es un UFD. [1] Lo contrario de esto no es cierto: hay anillos locales noetherianos que son UFD pero cuyas terminaciones no lo son. La cuestión de cuándo sucede esto es bastante sutil: por ejemplo, para la localización de k [ x , y , z ] / ( x 2 + y 3 + z 5 ) en el ideal primo ( x , y , z ), tanto el anillo local y su finalización son UFD, pero en el ejemplo aparentemente similar de la localización de k [ x , y , z ] / ( x 2 + y 3 + z 7 ) en el ideal primo ( x , y , z ) el local El anillo es un UFD pero su finalización no lo es.
- Dejar ser un campo de cualquier característica distinta de 2. Klein y Nagata demostraron que el anillo R [ X 1 , ..., X n ] / Q es un UFD siempre que Q es una forma cuadrática no singular en las X y n está en al menos 5. Cuando n = 4, el anillo no necesita ser un UFD. Por ejemplo, no es un UFD, porque el elemento es igual al elemento así que eso y son dos factorizaciones diferentes del mismo elemento en irreducibles.
- El anillo Q [ x , y ] / ( x 2 + 2 y 2 + 1) es un UFD, pero el anillo Q ( i ) [ x , y ] / ( x 2 + 2 y 2 + 1) no lo es. Por otro lado, el anillo Q [ x , y ] / ( x 2 + y 2 - 1) no es un UFD, sino el anillo Q ( i ) [ x , y ] / ( x 2 + y 2 - 1) es ( Samuel 1964 , p. 35). De manera similar, el anillo de coordenadas R [ X , Y , Z ] / ( X 2 + Y 2 + Z 2 - 1) de la esfera real bidimensional es un UFD, pero el anillo de coordenadas C [ X , Y , Z ] / ( X 2 + Y 2 + Z 2 - 1) de la esfera compleja no lo es.
- Suponga que las variables X i reciben pesos w i , y F ( X 1 , ..., X n ) es un polinomio homogéneo de peso w . Entonces, si c es primos entre sí a w y R es un UFD y, o bien cada finitamente generado módulo proyectivo sobre R es libre o c es 1 mod w , el anillo R [ X 1 , ..., X n , Z ] / ( Z c - F ( X 1 , ..., X n )) es un UFD ( Samuel 1964 , p.31).
No ejemplos
- El anillo entero cuadrático de todos los números complejos de la forma , Donde un y b son números enteros, no es un UFD porque 6 factores tanto como 2 × 3 y como se. Estas son realmente factorizaciones diferentes, porque las únicas unidades en este anillo son 1 y -1; por lo tanto, ninguno de 2, 3,, y son asociados . No es difícil demostrar que los cuatro factores también son irreductibles, aunque esto puede no ser obvio. [2] Véase también entero algebraico .
- Para un entero positivo d libre de cuadrados , el anillo de enteros deno será un UFD a menos que d sea un número de Heegner .
- El anillo de la serie de potencias formales sobre los números complejos es un UFD, pero el subanillo de aquellos que convergen en todas partes, es decir, el anillo de funciones completas en una sola variable compleja, no es un UFD, ya que existen funciones enteras con infinito. de ceros, y por lo tanto una infinidad de factores irreductibles, mientras que una factorización UFD debe ser finita, por ejemplo:
Propiedades
Algunos conceptos definidos para números enteros se pueden generalizar a UFD:
- En las UFD, todo elemento irreducible es primo . (En cualquier dominio integral, todos los elementos primos son irreductibles, pero lo contrario no siempre se cumple. Por ejemplo, el elementoes irreducible, pero no primo). Tenga en cuenta que esto tiene un inverso parcial: un dominio que satisface la ACCP es un UFD si y solo si cada elemento irreducible es primo.
- Dos elementos cualesquiera de una UFD tienen un máximo común divisor y un mínimo común múltiplo . Aquí, un máximo común divisor de un y b es un elemento d que divide tanto un y b , y tal que todos los demás común divisor de un y b divide d . Todos los divisores comunes más grandes de una y b están asociados .
- Cualquier UFD está integralmente cerrado . En otras palabras, si R es un UFD con campo de cociente K, y si un elemento k en K es una raíz de un polinomio monico con coeficientes en R, entonces k es un elemento de R.
- Deje que S sea un subconjunto cerrado de forma multiplicativa de un UFD A . Entonces la localización es una UFD. También se mantiene una recíproca parcial de esto; vea abajo.
Condiciones equivalentes para que un anillo sea un UFD
Un dominio integral noetheriano es un UFD si y solo si cada ideal primo de altura 1 es principal (se da una prueba al final). Además, un dominio de Dedekind es un UFD si y solo si su grupo de clase ideal es trivial. En este caso, es de hecho un dominio ideal principal .
En general, para un dominio integral A , las siguientes condiciones son equivalentes:
- A es un UFD.
- Todo ideal primo distinto de cero de A contiene un elemento primo . ( Kaplansky )
- A satisface la condición de cadena ascendente en ideales principales (ACCP), y la localización S −1 A es una UFD, donde S es un subconjunto multiplicativamente cerrado de A generado por elementos primos. (Criterio de Nagata)
- A satisface a la ACCP y todo irreductible es primo .
- A es atómico y todo irreductible es primo .
- A es un dominio GCD (es decir, dos elementos cualesquiera tienen un máximo común divisor) satisfactorio (ACCP).
- A es un dominio de Schreier , [3] y atómico .
- A es un dominio pre-Schreier y atómico .
- A tiene una teoría de divisores en la que cada divisor es principal.
- A es un dominio de Krull en el que todo ideal divisorio es principal (de hecho, esta es la definición de UFD en Bourbaki).
- A es un dominio de Krull y todo ideal primo de altura 1 es principal. [4]
En la práctica, (2) y (3) son las condiciones más útiles para verificar. Por ejemplo, se sigue inmediatamente de (2) que un PID es un UFD, ya que cada ideal primo es generado por un elemento primo en un PID.
Para otro ejemplo, considere un dominio integral noetheriano en el que cada altura, un ideal primo es principal. Dado que todo ideal primo tiene una altura finita, contiene una altura como un ideal primo (inducción sobre la altura) que es el principal. Por (2), el anillo es un UFD.
Ver también
- Anillo local parafactorial
Citas
- ↑ Bourbaki, 7.3, no 6, Proposición 4.
- ^ Artin, Michael (2011). Álgebra . Prentice Hall. pag. 360. ISBN 978-0-13-241377-0.
- ^ Un dominio de Schreier es un dominio integral integralmente cerrado donde, siempre que x divide a yz , x se puede escribir como x = x 1 x 2 de modo que x 1 divide y y x 2 divide z . En particular, un dominio GCD es un dominio Schreier
- ↑ Bourbaki, 7.3, no 2, Teorema 1.
Referencias
- N. Bourbaki. Álgebra conmutativa .
- B. Hartley ; A Hawkes (1970). Anillos, módulos y álgebra lineal . Chapman y Hall. ISBN 0-412-09810-5.Cap. 4.
- Capítulo II.5 de Lang, Serge (1993), Álgebra (Tercera ed.), Reading, Mass .: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001
- David Sharpe (1987). Anillos y factorización . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-33718-6.
- Samuel, Pierre (1964), Murthy, M. Pavman (ed.), Conferencias sobre dominios de factorización únicos , Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics, 30 , Bombay: Tata Institute of Fundamental Research, MR 0214579
- Samuel, Pierre (1968). "Factorización única". The American Mathematical Monthly . 75 : 945–952. doi : 10.2307 / 2315529 . ISSN 0002-9890 .