En matemáticas, un mapa positivo es un mapa entre C * -algebras que envía elementos positivos a elementos positivos. Un mapa completamente positivo es aquel que satisface una condición más fuerte y robusta.
Definición
Dejar y ser C * -álgebras . Un mapa linealse llama mapa positivo siasigna elementos positivos a elementos positivos:.
Cualquier mapa lineal induce otro mapa
de forma natural. Si se identifica con el álgebra C * de -matrices con entradas en , luego actúa como
Nosotros decimos eso es k-positivo si es un mapa positivo, y se llama completamente positivo si es k-positivo para todo k.
Propiedades
- Los mapas positivos son monótonos, es decir para todos los elementos autoadjuntos.
- Desde cada mapa positivo es automáticamente continuo con respecto a las normas C * y su norma de operador es igual a. Una declaración similar con unidades aproximadas es válida para álgebras no unitales.
- El conjunto de funcionales positivos es el cono dual del cono de elementos positivos de.
Ejemplos de
- Cada * - homomorfismo es completamente positivo.
- Para cada operador lineal entre espacios de Hilbert, el mapa es completamente positivo. El teorema de Stinespring dice que todos los mapas completamente positivos son composiciones de * -homomorfismos y estos mapas especiales.
- Cada funcional positivo (en particular cada estado ) es automáticamente completamente positivo.
- Cada mapa positivo es completamente positivo.
- La transposición de matrices es un ejemplo estándar de un mapa positivo que falla en ser 2-positivo. Deje que T denote este mapa en. La siguiente es una matriz positiva en:
La imagen de esta matriz bajo es
- que claramente no es positivo, teniendo determinante -1. Además, los valores propios de esta matriz son 1,1,1 y -1.
- Por cierto, se dice que un mapa Φ es co-positivo si la composición Φ T es positivo. El mapa de transposición en sí mismo es un mapa co-positivo.