Teorema de dilatación del resorte de estímulo

En matemáticas , el teorema de dilatación de Stinespring , también llamado teorema de factorización de Stinespring , que lleva el nombre de W. Forrest Stinespring , es el resultado de la teoría del operador que representa cualquier mapa completamente positivo en un álgebra C * como una composición de dos mapas completamente positivos, cada uno de los cuales tiene una forma especial:

Además, el teorema de Stinespring es un teorema de estructura de un álgebra C * al álgebra de operadores acotados en un espacio de Hilbert. Se muestra que los mapas completamente positivos son simples modificaciones de representaciones *, o algunas veces se denominan homorfismos * .

De manera informal, se puede decir que todo mapa completamente positivo puede " elevarse " a un mapa de la forma . ${\ Displaystyle \ Phi}$ ${\ Displaystyle V ^ {*} (\ cdot) V}$

Lo contrario del teorema es cierto trivialmente. Entonces, el resultado de Stinespring clasifica mapas completamente positivos.

Ahora esbozamos brevemente la prueba. Deja . Para , definir ${\ Displaystyle K = A \ otimes H}$ ${\ Displaystyle a \ otimes h, \ b \ otimes g \ in K}$

y extender por semi-linealidad a todos los K . Esta es una forma sesquilínea hermitiana porque es compatible con la operación *. A continuación, se utiliza la positividad completa de para mostrar que esta forma sesquilínea es de hecho semidefinita positiva. Dado que las formas sesquilíneas hermitianas semidefinidas positivas satisfacen la desigualdad de Cauchy-Schwarz, el subconjunto ${\ Displaystyle \ Phi}$ ${\ Displaystyle \ Phi}$