En topología algebraica , una teoría de cohomología de orientación compleja es una teoría de cohomología multiplicativa E tal que el mapa de restricciónes sobreyectiva. Un elemento de que se restringe al generador canónico de la teoría reducida se llama orientación compleja . La noción es fundamental para el trabajo de Quillen que relaciona la cohomología con las leyes formales de grupo . [ cita requerida ]
Si E es una teoría de grado uniforme que significa , entonces E es orientable al complejo. Esto se sigue de la secuencia espectral Atiyah-Hirzebruch .
Ejemplos:
- Una cohomología ordinaria con cualquier anillo de coeficiente R es compleja orientable, como.
- La teoría K compleja, denominada KU , es orientable al complejo, ya que tiene un grado uniforme. ( Teorema de la periodicidad de Bott )
- El cobordismo complejo , cuyo espectro se denota por MU, es orientable al complejo.
Una orientación compleja, llamémosla t , da lugar a una ley de grupo formal como sigue: sea m la multiplicación
dónde denota una línea que pasa por x en el espacio vectorial subyacente de . Este es el mapa que clasifica el producto tensorial del paquete de línea universal sobre. Visita
- ,
dejar sea el retroceso de t a lo largo de m . Vive en
y se puede demostrar, usando las propiedades del producto tensorial de los haces de líneas, que es una ley de grupo formal (por ejemplo, satisface la asociatividad).