En matemáticas, el cobordismo complejo es una teoría de cohomología generalizada relacionada con el cobordismo de variedades . Su espectro se denota por MU. Es una teoría de cohomología excepcionalmente poderosa , pero puede ser bastante difícil de calcular, por lo que a menudo, en lugar de usarla directamente, se utilizan algunas teorías ligeramente más débiles derivadas de ella, como la cohomología de Brown-Peterson o la teoría K de Morava , que son más fáciles de calcular. .
Michael Atiyah ( 1961 ) introdujo las teorías del cobordismo del complejo de homología generalizada y cohomología utilizando el espectro de Thom .
Espectro de cobordismo complejo
El complejo bordismo de un espacio es aproximadamente el grupo de clases de variedades bordistas sobre con una estructura lineal compleja en el paquete normal estable . El bordismo complejo es una teoría de homología generalizada , correspondiente a un espectro MU que se puede describir explícitamente en términos de espacios de Thom como sigue.
El espacio es el espacio Thom de lo universal- paquete de plano sobre el espacio de clasificación del grupo unitario . La inclusión natural de dentro induce un mapa de la doble suspensión a . Juntos, estos mapas dan el espectro; es decir, es el colimito de homotopía de.
Ejemplos: es el espectro de la esfera. es la desuspension de .
El teorema de nilpotencia establece que, para cualquier espectro de anillo , el núcleo de consta de elementos nilpotentes. [1] El teorema implica en particular que, si es el espectro de la esfera, entonces para cualquier , cada elemento de es nilpotente (un teorema de Goro Nishida ). (Prueba: si es en , luego es una torsión pero su imagen en , el anillo de Lazard , no puede ser torsión ya quees un anillo polinomial. Por lo tanto, debe estar en el kernel.)
Leyes formales de grupo
John Milnor ( 1960 ) y Sergei Novikov ( 1960 , 1962 ) demostraron que el anillo de coeficientes (igual al cobordismo complejo de un punto, o lo que es lo mismo, el anillo de clases de cobordismo de variedades establemente complejas) es un anillo polinomial en infinitos generadores de grados pares positivos.
Escribir para el espacio proyectivo complejo de dimensión infinita , que es el espacio de clasificación para paquetes de líneas complejos, de modo que el producto tensorial de los paquetes de líneas induce un mapaUna orientación compleja en un espectro de anillo conmutativo asociativo E es un elemento x en cuya restricción a es 1, si este último anillo se identifica con el anillo coeficiente de E . Un espectro E con un elemento x de este tipo se denomina espectro de anillo orientado complejo .
Si E es un espectro de anillo orientado complejo, entonces
y es una ley de grupo formal sobre el ring.
El cobordismo complejo tiene una orientación compleja natural. Daniel Quillen ( 1969 ) mostró que existe un isomorfismo natural desde su anillo de coeficientes hasta el anillo universal de Lazard , convirtiendo la ley formal de grupo del cobordismo complejo en la ley formal universal de grupo. En otras palabras, para cualquier ley de grupo formal F sobre cualquier anillo conmutativo R , existe un homomorfismo de anillo único desde MU * (punto) a R, de modo que F es el retroceso de la ley de grupo formal de cobordismo complejo.
Cohomología de Brown-Peterson
El cobordismo complejo sobre los racionales puede reducirse a la cohomología ordinaria sobre los racionales, por lo que el interés principal está en la torsión del cobordismo complejo. A menudo es más fácil estudiar la torsión un primo a la vez localizando MU en un primo p ; En términos generales, esto significa que uno elimina la torsión prima ap . La localización MU p de MU en un primer p se divide como una suma de suspensiones de una teoría de cohomología más simple llamada cohomología de Brown-Peterson , descrita por primera vez por Brown y Peterson (1966) . En la práctica, a menudo se hacen cálculos con la cohomología de Brown-Peterson en lugar de con un cobordismo complejo. El conocimiento de las cohomologías de Brown-Peterson de un espacio para todos los números primos p es aproximadamente equivalente al conocimiento de su complejo cobordismo.
Clases de Conner-Floyd
El anillo es isomorfo al anillo formal de la serie de potencias donde los elementos cf se denominan clases de Conner-Floyd. Son los análogos de las clases Chern para el cobordismo complejo. Fueron presentados por Conner & Floyd (1966) .
similar es isomorfo al anillo polinomial
Operaciones de cohomología
El álgebra de Hopf MU * (MU) es isomorfa al álgebra polinomial R [b 1 , b 2 , ...], donde R es el anillo de bordismo reducido de una esfera 0.
El coproducto viene dado por
donde la notación () 2 i significa tomar la pieza de grado 2 i . Esto se puede interpretar de la siguiente manera. El mapa
es un automorfismo continuo del anillo de series de potencias formales en x , y el coproducto de MU * (MU) da la composición de dos de estos automorfismos.
Ver también
Notas
Referencias
- Adams, J. Frank (1974), Homotopía estable y homología generalizada , University of Chicago Press , ISBN 978-0-226-00524-9
- Atiyah, Michael Francis (1961), "Bordismo y cobordismo", Proc. Cambridge Philos. Soc. , 57 (2): 200–208, Bibcode : 1961PCPS ... 57..200A , doi : 10.1017 / S0305004100035064 , MR 0126856
- Brown, Edgar H., Jr .; Peterson, Franklin P. (1966), "Un espectro cuyola cohomología es el álgebra de potencias p- ésimas reducidas ", Topología , 5 (2): 149-154, doi : 10.1016 / 0040-9383 (66) 90015-2 , MR 0192494.
- Conner, Pierre E .; Floyd, Edwin E. (1966), La relación del cobordismo con las teorías K , Lecture Notes in Mathematics, 28 , Berlín-Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0071091 , ISBN 978-3-540-03610-4, MR 0216511
- Milnor, John (1960), "On the cobordism ringy un análogo complejo, Parte I ", American Journal of Mathematics , 82 (3): 505–521, doi : 10.2307 / 2372970 , JSTOR 2372970
- Morava, Jack (2007). "Cobordismo complejo y topología algebraica". arXiv : 0707.3216 [ matemáticas.HO ].
- Novikov, Sergei P. (1960), "Algunos problemas en la topología de variedades conectados con la teoría de los espacios de Thom", Matemáticas soviéticas. Dokl. , 1 : 717–720. Traducción de "О некоторых задачах топологии многообразий, связанных с теорией пространств Тома", Doklady Akademii Nauk SSSR , 132 (5): 1031-1034, MR 0.121.815 , Zbl 0094,35902 .
- Novikov, Sergei P. (1962), "Propiedades de homotopía de los complejos de Thom. (Ruso)", Mat. Sb. , Serie nueva, 57 : 407–442, MR 0157381
- Quillen, Daniel (1969), "Sobre las leyes de grupo formales de la teoría del cobordismo complejo y desorientado", Boletín de la American Mathematical Society , 75 (6): 1293-1298, doi : 10.1090 / S0002-9904-1969-12401-8 , MR 0253350.
- Ravenel, Douglas C. (1980), "El cobordismo complejo y sus aplicaciones a la teoría de la homotopía" , Actas del Congreso Internacional de Matemáticos (Helsinki, 1978) , 1 , Helsinki: Acad. Sci. Fennica, págs. 491–496, ISBN 978-951-41-0352-0, MR 0562646
- Ravenel, Douglas C. (1988), "Teoría del cobordismo complejo para teóricos de números", Curvas elípticas y formas modulares en topología algebraica , Lecture Notes in Mathematics, 1326 , Berlín / Heidelberg: Springer, pp. 123-133, doi : 10.1007 / BFb0078042 , ISBN 978-3-540-19490-3, ISSN 1617-9692
- Ravenel, Douglas C. (2003), Cobordismo complejo y grupos de esferas de homotopía estable (2a ed.), AMS Chelsea, ISBN 978-0-8218-2967-7, MR 0860042
- Rudyak, Yuli B. (2001) [1994], "Cobordism" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Stong, Robert E. (1968), Notas sobre la teoría del cobordismo , Princeton University Press
- Thom, René (1954), "Quelques propriétés globales des variétés différentiables" , Commentarii Mathematici Helvetici , 28 : 17–86, doi : 10.1007 / BF02566923 , MR 0061823
enlaces externos
- Bordismo complejo en el atlas múltiple
- teoría de la cohomología del cobordismo en nLab