En matemáticas , la secuencia espectral Atiyah-Hirzebruch es una secuencia espectral para calcular la cohomología generalizada , introducida por Michael Atiyah y Friedrich Hirzebruch ( 1961 ) en el caso especial de la teoría K topológica . Para un complejo CW y una teoría de la cohomología generalizada , relaciona los grupos de cohomología generalizada
con grupos de cohomología 'ordinarios' con coeficientes en la cohomología generalizada de un punto. Más precisamente, el término de la secuencia espectral es , y la secuencia espectral converge condicionalmente a .
Atiyah e Hirzebruch señalaron una generalización de su secuencia espectral que también generaliza la secuencia espectral de Serre , y se reduce a ella en el caso en que. Puede derivarse de un par exacto que da la página de la secuencia espectral de Serre, excepto con los grupos de cohomología ordinarios reemplazados por . En detalle, asumaser el espacio total de una fibración Serre con fibra y espacio base . La filtración de por esto -esqueletos da lugar a una filtración de . Hay una secuencia espectral correspondiente con término
y colindando con el anillo graduado asociado del anillo filtrado
- .
Esta es la secuencia espectral Atiyah-Hirzebruch en el caso donde la fibra es un punto.
Teoría K topológica
Por ejemplo, el complejo topológico -la teoría de un punto es
- dónde está en grado
Esto implica que los términos del -página de un complejo CW finito parece
Desde el -la teoría de un punto es
siempre podemos garantizar que
Esto implica que la secuencia espectral colapsa en para muchos espacios. Esto se puede comprobar en cada, curvas algebraicas o espacios con cohomología distinta de cero en grados pares. Por lo tanto, colapsa para todas las intersecciones completas lisas (complejas) incluso dimensionales en.
Paquete cotangente en un círculo
Por ejemplo, considere el paquete cotangente . Este es un haz de fibras con fibra. entonces el -página se lee como
Diferenciales
Los diferenciales de dimensión impar de la AHSS para la teoría K topológica compleja se pueden calcular fácilmente. Para es la plaza Steenrod donde lo tomamos como la composición
dónde es mod de reducción y es el homomorfismo de Bockstein (morfismo de conexión) de la secuencia corta exacta
Intersección completa 3 veces
Considere una intersección completa suave en tres partes (como una intersección completa Calabi-Yau triple). Si miramos el-página de la secuencia espectral
podemos ver de inmediato que los únicos diferenciales potencialmente no triviales son
Resulta que estos diferenciales desaparecen en ambos casos, por lo que . En el primer caso, desde es trivial para tenemos el primer conjunto de diferenciales que son cero. El segundo conjunto es trivial porque envía la identificacion muestra que el diferencial es trivial.
Teoría K retorcida
La secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch también se puede utilizar para calcular grupos de teoría K retorcidos. En resumen, la teoría K retorcida es la finalización grupal de las clases de isomorfismo de paquetes de vectores definidos mediante el encolado de datos. dónde
para alguna clase de cohomología . Luego, la secuencia espectral se lee como
pero con diferenciales diferentes. Por ejemplo,
Sobre el -página el diferencial es
Diferenciales de dimensiones impares más altos son dados por los productos Massey para la teoría K retorcida tensada por. Entonces
Tenga en cuenta que si el espacio subyacente es formal , lo que significa que su tipo de homotopía racional está determinado por su cohomología racional, por lo tanto, tiene productos de Massey que desaparecen, entonces los diferenciales de dimensión impar son cero. Pierre Deligne , Phillip Griffiths , John Morgan y Dennis Sullivan demostraron esto para todos los colectores compactos de Kähler , por lo tantoen este caso. En particular, esto incluye todas las variedades proyectivas suaves.
Teoría K retorcida de 3 esferas
La retorcida teoría K para se puede calcular fácilmente. En primer lugar, ya que y , tenemos que el diferencial en el -página es simplemente cata con la clase dada por . Esto da el cálculo
Bordismo racional
Recordemos que el grupo de bordismo racional es isomorfo al anillo
generado por las clases de bordismo de los (complejos) espacios proyectivos incluso dimensionales en grado . Esto da una secuencia espectral computacionalmente manejable para calcular los grupos de bordismo racionales.
Cobordismo complejo
Recordar que dónde . Entonces, podemos usar esto para calcular el cobordismo complejo de un espacioa través de la secuencia espectral. Tenemos el-página dada por