Ceros y polos
En el análisis complejo (una rama de las matemáticas), un polo es un cierto tipo de singularidad de una función, cerca de la cual la función se comporta con relativa regularidad, en contraste con las singularidades esenciales , como 0 para la función logarítmica , y puntos de ramificación , como 0 para la función de raíz cuadrada compleja .
Una función f de una variable compleja z es meromórfica en la vecindad de un punto z 0 si f o su función recíproca 1 / f es holomórfica en alguna vecindad de z 0 (es decir, si f o 1 / f es compleja diferenciable en una vecindad de z 0 ).
Un cero de una función meromórfica f es un número complejo z tal que f ( z ) = 0 . Un polo de f es un cero de 1 / f .
Esto induce una dualidad entre ceros y polos , que se obtiene reemplazando la función f por su recíproco 1 / f . Esta dualidad es fundamental para el estudio de las funciones meromorfas. Por ejemplo, si una función es meromórfica en todo el plano complejo , incluido el punto en el infinito , entonces la suma de las multiplicidades de sus polos es igual a la suma de las multiplicidades de sus ceros.
Una función de una variable compleja z es holomorfa en un dominio abierto U si es diferenciable con respecto a z en cada punto de U . De manera equivalente, es holomórfica si es analítica , es decir, si su serie de Taylor existe en cada punto de U y converge a la función en alguna vecindad del punto. Una función es meromórfica en U si cada punto de U tiene una vecindad tal que f o 1 / f es holomórfico en él.
Un cero de una función meromórfica f es un número complejo z tal que f ( z ) = 0 . Un polo de f es un cero de 1 / f .
