En el análisis complejo , una singularidad esencial de una función es una singularidad "severa" cerca de la cual la función exhibe un comportamiento extraño.
La categoría de singularidad esencial es un "sobrante" o grupo predeterminado de singularidades aisladas que son especialmente inmanejables: por definición, no encajan en ninguna de las otras dos categorías de singularidad que pueden tratarse de alguna manera: singularidades removibles y polos .
Descripción formal
Considere un subconjunto abierto del plano complejo . Dejar ser un elemento de , y una función holomórfica . El puntose llama una singularidad esencial de la funciónsi la singularidad no es un polo ni una singularidad removible .
Por ejemplo, la función tiene una singularidad esencial en .
Descripciones alternativas
Dejar ser un número complejo, suponga que no está definido en pero es analítico en alguna regióndel plano complejo, y que cada vecindario abierto de tiene una intersección no vacía con .
- Si ambos y existir, entonces es una singularidad removible de ambos y .
- Del mismo modo, si no existe pero existe, entonces es un poste de y un cero de .
- Si ninguno ni existe, entonces es una singularidad esencial de ambos y .
Otra forma de caracterizar una singularidad esencial es que la serie Laurent de en el punto tiene infinitos términos de grado negativos (es decir, la parte principal de la serie de Laurent es una suma infinita). Una definición relacionada es que si hay un punto para el cual ningún derivado de converge a un límite como tiende a , luego es una singularidad esencial de . [1]
El comportamiento de las funciones holomórficas cerca de sus singularidades esenciales está descrito por el teorema de Casorati-Weierstrass y por el gran teorema de Picard, considerablemente más fuerte . Este último dice que en cada barrio de una singularidad esencial, la función toma cada valor complejo, excepto posiblemente uno, infinitas veces. (La excepción es necesaria; por ejemplo, la función nunca toma el valor 0.)
Referencias
- ^ Weisstein, Eric W. "Singularidad esencial" . MathWorld . Wolfram . Consultado el 11 de febrero de 2014 .
- Lars V. Ahlfors; Análisis complejo , McGraw-Hill, 1979
- Rajendra Kumar Jain, SRK Iyengar; Matemáticas avanzadas de ingeniería . Página 920. Alpha Science International, Limited, 2004. ISBN 1-84265-185-4