Grupo de reflexión complejo
En matemáticas , un grupo de reflexión complejo es un grupo finito que actúa sobre un espacio vectorial complejo de dimensión finita que se genera mediante reflexiones complejas : elementos no triviales que fijan un hiperplano complejo puntualmente.
Los grupos de reflexión complejos surgen en el estudio de la teoría invariante de los anillos polinomiales . A mediados del siglo XX, se clasificaron por completo en el trabajo de Shephard y Todd. Los casos especiales incluyen el grupo simétrico de permutaciones, los grupos diedros y, más generalmente, todos los grupos de reflexión real finitos (los grupos Coxeter o los grupos Weyl , incluidos los grupos de simetría de los poliedros regulares ).
Una reflexión (compleja) r (a veces también llamada pseudo reflexión o reflexión unitaria ) de un espacio vectorial complejo de dimensión finita V es un elemento de orden finito que fija un hiperplano complejo puntualmente, es decir, el espacio fijo tiene codimensión 1.
Un grupo de reflexión complejo ( finito ) es un subgrupo finito del que se genera mediante reflexiones.
Cualquier grupo de reflexión real se convierte en un grupo de reflexión compleja si extendemos los escalares de R a C . En particular, todos los grupos Coxeter finitos o grupos Weyl dan ejemplos de grupos de reflexión complejos.
Un grupo de reflexión complejo W es irreducible si el único subespacio propio invariante W del espacio vectorial correspondiente es el origen. En este caso, la dimensión del espacio vectorial se llama el rango de W .