geometría conforme
En matemáticas , la geometría conforme es el estudio del conjunto de transformaciones que conservan los ángulos ( conformes ) en un espacio.
En un espacio bidimensional real, la geometría conforme es precisamente la geometría de las superficies de Riemann . En el espacio superior a dos dimensiones, la geometría conforme puede referirse al estudio de las transformaciones conformes de lo que se denominan "espacios planos" (como los espacios euclidianos o las esferas ), o al estudio de las variedades conformes que son variedades riemannianas o pseudo-riemannianas. con una clase de métricas que se definen a escala. El estudio de las estructuras planas a veces se denomina geometría de Möbius y es un tipo de geometría de Klein .
Una variedad conforme es una variedad pseudo-riemanniana equipada con una clase de equivalencia de tensores métricos , en la que dos métricas g y h son equivalentes si y solo si
donde λ es una función suave de valor real definida en la variedad y se denomina factor conforme . Una clase de equivalencia de dichas métricas se conoce como métrica conforme o clase conforme . Por lo tanto, una métrica conforme puede considerarse como una métrica que solo se define "a escala". A menudo, las métricas conformes se tratan seleccionando una métrica en la clase conforme y aplicando solo construcciones "conformemente invariantes" a la métrica elegida.
Una métrica conforme es conformemente plana si hay una métrica que la representa que es plana, en el sentido habitual de que el tensor de curvatura de Riemann desaparece. Puede que solo sea posible encontrar una métrica en la clase conforme que sea plana en una vecindad abierta de cada punto. Cuando es necesario distinguir estos casos, estos últimos se denominan localmente conformemente planos , aunque muchas veces en la literatura no se mantiene ninguna distinción. La n -esferaes una variedad localmente conformemente plana que no es globalmente conformemente plana en este sentido, mientras que un espacio euclidiano, un toro o cualquier variedad conforme que esté cubierta por un subconjunto abierto del espacio euclidiano es (globalmente) conformemente plana en este sentido. Una variedad plana localmente conforme es localmente conforme a una geometría de Möbius , lo que significa que existe un ángulo que preserva el difeomorfismo local de la variedad en una geometría de Möbius. En dos dimensiones, toda métrica conforme es localmente conforme plana. En dimensión n > 3 , una métrica conforme es localmente conforme plana si y solo si su tensor de Weyl desaparece; en dimensión n = 3 , si y solo si el tensor Cotton desaparece
La geometría conforme tiene una serie de características que la distinguen de la (pseudo-) geometría de Riemann. La primera es que si bien en la geometría (pseudo-)riemanniana se tiene una métrica bien definida en cada punto, en la geometría conforme solo se tiene una clase de métrica. Por lo tanto, no se puede definir la longitud de un vector tangente , pero sí se puede definir el ángulo entre dos vectores. Otra característica es que no existe una conexión Levi-Civita porque si g y λ 2 g son dos representantes de la estructura conforme, entonces los símbolos de Christoffel de g y λ 2 g no estarían de acuerdo. Los asociados con λ 2g involucraría derivadas de la función λ mientras que las asociadas con g no lo harían.
