En matemáticas , más específicamente en topología diferencial , un difeomorfismo local es intuitivamente un mapa entre variedades suaves que preserva la estructura diferenciable local . La definición formal de un difeomorfismo local se da a continuación.
Definicion formal
Deje que X y Y sean variedades diferenciables . Una función
es un difeomorfismo local , si para cada punto x en X existe un conjunto abierto U que contiene x , tal que
está abierto en Y y
es un difeomorfismo .
Un difeomorfismo local es un caso especial de una inmersión f de X a Y , en donde la imagen f ( U ) de U bajo f tiene localmente la estructura derivable de una subvariedad de Y . Entonces f ( T ) y X puede tener una dimensión menor que Y .
Discusión
Por ejemplo, aunque todas las variedades lucen localmente iguales (como R n para algunos n ) en el sentido topológico, es natural preguntarse si sus estructuras diferenciables se comportan de la misma manera localmente. Por ejemplo, se pueden imponer dos estructuras diferenciables diferentes en R que convierten a R en una variedad diferenciable, pero ambas estructuras no son localmente difeomórficas (ver más abajo). Aunque los difeomorfismos locales conservan la estructura diferenciable localmente, uno debe ser capaz de "parchear" estos difeomorfismos (locales) para asegurar que el dominio sea la variedad completa (suave) . Por ejemplo, no puede haber difeomorfismo local desde el espacio 2-esférico al espacio euclidiano 2, aunque de hecho tienen la misma estructura local diferenciable. Esto se debe a que todos los difeomorfismos locales son continuos , la imagen continua de un espacio compacto es compacta, la esfera es compacta mientras que el espacio euclidiano 2 no lo es.
Propiedades
- Todo difeomorfismo local es también un homeomorfismo local y, por tanto, un mapa abierto .
- Un difeomorfismo local tiene un rango constante de n .
- Un difeomorfismo es un difeomorfismo local biyectivo .
- Un mapa de cobertura suave es un difeomorfismo local de modo que cada punto del objetivo tiene un vecindario que está cubierto uniformemente por el mapa.
- De acuerdo con el teorema de la función inversa , una transformación suave f : M → N es un difeomorfismo local si y sólo si el derivado Df p : T p M → T f ( p ) N es un isomorfismo lineal para todos los puntos p en M . Tenga en cuenta que esto implica que M y N deben tener la misma dimensión.
Difeomorfismos de flujo local
Ver también
Referencias
- Michor, Peter W. (2008), Temas de geometría diferencial , Estudios de posgrado en matemáticas , 93 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2003-2, MR 2428390.