Tensor de algodón

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En geometría diferencial , el tensor de Cotton en una variedad (pseudo) - Riemanniana de dimensión n es un tensor de tercer orden concomitante de la métrica , como el tensor de Weyl . La desaparición del tensor de Cotton para n = 3 es condición necesaria y suficiente para que la variedad sea conformemente plana , como ocurre con el tensor de Weyl para n ≥ 4 . Para n <3, el tensor de algodón es idénticamente cero. El concepto lleva el nombre de Émile Cotton .

La prueba del resultado clásico de que para n = 3 la desaparición del tensor de Cotton es equivalente a que la métrica sea conformemente plana la da Eisenhart utilizando un argumento de integrabilidad estándar . Esta densidad de tensor se caracteriza de forma única por sus propiedades de conformación junto con la demanda de que sea diferenciable para métricas arbitrarias, como lo muestra ( Aldersley 1979 ).

Recientemente, el estudio de los espacios tridimensionales se está volviendo de gran interés, porque el tensor de Cotton restringe la relación entre el tensor de Ricci y el tensor de energía-momento de la materia en las ecuaciones de Einstein y juega un papel importante en el formalismo hamiltoniano de la relatividad general. .

Definición

En coordenadas, y denotando el tensor de Ricci por R _ij y la curvatura escalar por R , las componentes del tensor de Cotton son

${\displaystyle C_{ijk}=\nabla _{k}R_{ij}-\nabla _{j}R_{ik}+{\frac {1}{2(n-1)}}\left(\nabla _{j}Rg_{ik}-\nabla _{k}Rg_{ij}\right).}$

El tensor de algodón se puede considerar como un vector valuado en 2 formas , y para n  = 3 se puede usar el operador de estrella de Hodge para convertirlo en una densidad de tensor libre de trazas de segundo orden.

${\displaystyle C_{i}^{j}=\nabla _{k}\left(R_{li}-{\frac {1}{4}}Rg_{li}\right)\epsilon ^{klj},}$

a veces llamado tensor de Cotton- York .

Propiedades

Cambio de escala conforme

Bajo cambio de escala conforme de la métrica para alguna función escalar . Vemos que los símbolos de Christoffel se transforman como${\displaystyle {\tilde {g}}=e^{2\omega }g}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{\beta \gamma }^{\alpha }=\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }+S_{\beta \gamma }^{\alpha }}$

donde esta el tensor${\displaystyle S_{\beta \gamma }^{\alpha }}$

${\displaystyle S_{\beta \gamma }^{\alpha }=\delta _{\gamma }^{\alpha }\partial _{\beta }\omega +\delta _{\beta }^{\alpha }\partial _{\gamma }\omega -g_{\beta \gamma }\partial ^{\alpha }\omega }$

El tensor de curvatura de Riemann se transforma como

${\displaystyle {{\widetilde {R}}^{\lambda }}{}_{\mu \alpha \beta }={R^{\lambda }}_{\mu \alpha \beta }+\nabla _{\alpha }S_{\beta \mu }^{\lambda }-\nabla _{\beta }S_{\alpha \mu }^{\lambda }+S_{\alpha \rho }^{\lambda }S_{\beta \mu }^{\rho }-S_{\beta \rho }^{\lambda }S_{\alpha \mu }^{\rho }}$

En variedades -dimensionales, obtenemos el tensor de Ricci contrayendo el tensor de Riemann transformado para verlo transformarse como${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\widetilde {R}}_{\beta \mu }=R_{\beta \mu }-g_{\beta \mu }\nabla ^{\alpha }\partial _{\alpha }\omega -(n-2)\nabla _{\mu }\partial _{\beta }\omega +(n-2)(\partial _{\mu }\omega \partial _{\beta }\omega -g_{\beta \mu }\partial ^{\lambda }\omega \partial _{\lambda }\omega )}$

De manera similar, el escalar de Ricci se transforma como

${\displaystyle {\widetilde {R}}=e^{-2\omega }R-2e^{-2\omega }(n-1)\nabla ^{\alpha }\partial _{\alpha }\omega -(n-2)(n-1)e^{-2\omega }\partial ^{\lambda }\omega \partial _{\lambda }\omega }$

La combinación de todos estos hechos nos permite concluir que el tensor de Cotton-York se transforma como

${\displaystyle {\widetilde {C}}_{\alpha \beta \gamma }=C_{\alpha \beta \gamma }+(n-2)\partial _{\lambda }\omega {W_{\beta \gamma \alpha }}^{\lambda }}$

o usando un lenguaje independiente de coordenadas como

${\displaystyle {\tilde {C}}=C\;+\;\operatorname {grad} \,\omega \;\lrcorner \;W,}$

donde el gradiente está enchufado en la parte simétrica de la tensor de Weyl  W .

Simetrías

El tensor de algodón tiene las siguientes simetrías:

${\displaystyle C_{ijk}=-C_{ikj}\,}$

y por lo tanto

${\displaystyle C_{[ijk]}=0.\,}$

Además, la fórmula de Bianchi para el tensor de Weyl se puede reescribir como

${\displaystyle \delta W=(3-n)C,\,}$

donde es la divergencia positiva en el primer componente de W .${\displaystyle \delta }$

Referencias

• Aldersley, SJ (1979). "Comentarios sobre ciertas densidades de tensor libres de divergencia en un 3-espacio". Revista de Física Matemática . 20 (9): 1905-1907. Código Bibliográfico : 1979JMP .... 20.1905A . doi : 10.1063 / 1.524289 .
• Choquet-Bruhat, Yvonne (2009). Relatividad general y ecuaciones de Einstein . Oxford, Inglaterra: Oxford University Press . ISBN 978-0-19-923072-3.
• Algodón, É. (1899). "Sur les variétés à trois dimensiones" . Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse . II. 1 (4): 385–438. Archivado desde el original el 10 de octubre de 2007.
• Eisenhart, Luther P. (1977) [1925]. Geometría de Riemann . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press . ISBN 0-691-08026-7.
• A. García, FW Hehl, C. Heinicke, A. Macias (2004) "The Cotton tensor in Riemannian spacetimes", Classical and Quantum Gravity 21: 1099-1118, Eprint arXiv: gr-qc / 0309008