En matemáticas , en topología general , la compactificación es el proceso o resultado de convertir un espacio topológico en un espacio compacto . [1] Un espacio compacto es un espacio en el que cada cubierta abierta del espacio contiene una subcubierta finita. Los métodos de compactación son varios, pero cada uno es una forma de controlar que los puntos "se vayan al infinito" agregando de alguna manera "puntos en el infinito" o evitando tal "escape".
Considere la línea real con su topología ordinaria. Este espacio no es compacto; en cierto sentido, los puntos pueden ir al infinito hacia la izquierda o hacia la derecha. Es posible convertir la línea real en un espacio compacto agregando un solo "punto en el infinito" que denotaremos por ∞. La compactificación resultante se puede considerar como un círculo (que es compacto como un subconjunto cerrado y acotado del plano euclidiano). Cada secuencia que corrió hasta el infinito en la línea real convergerá entonces a ∞ en esta compactación.
Intuitivamente, el proceso se puede representar de la siguiente manera: primero reduzca la línea real al intervalo abierto (- π , π) en el eje x ; luego doble los extremos de este intervalo hacia arriba (en dirección y positiva) y muévalos uno hacia el otro, hasta que obtenga un círculo al que le falta un punto (el más alto). Este punto es nuestro nuevo punto ∞ "en el infinito"; agregarlo completa el círculo compacto.
Un poco más formalmente: representamos un punto en el círculo unitario por su ángulo , en radianes , yendo de -π a π para simplificar. Identifica cada uno de esos puntos θ en el círculo con el punto correspondiente en la línea real tan (θ / 2). Esta función no está definida en el punto π, ya que tan (π / 2) no está definida; identificaremos este punto con nuestro punto ∞.
Dado que las tangentes y las tangentes inversas son continuas, nuestra función de identificación es un homeomorfismo entre la línea real y el círculo unitario sin ∞. Lo que hemos construido se llama compactación de un punto de Alexandroff de la línea real, que se analiza con más generalidad a continuación. También es posible compactar la línea real agregando dos puntos, + ∞ y -∞; esto da como resultado la línea real extendida .
Una incrustación de un espacio topológico X como una densa subconjunto de un espacio compacto se denomina compactación de X . A menudo es útil incrustar espacios topológicos en espacios compactos , debido a las propiedades especiales que tienen los espacios compactos.