Conjunto de bucle conforme
Un conjunto de bucles conformes (CLE κ ) es una colección aleatoria de bucles que no se cruzan en un subconjunto abierto del plano simplemente conectado. Estas colecciones aleatorias de bucles están indexadas por un parámetro κ, que puede ser cualquier número real entre 8/3 y 8. CLE κ es una versión de bucle de la evolución de Schramm-Loewner : SLE κ está diseñado para modelar una sola interfaz aleatoria discreta, mientras que CLE κ modela una colección completa de interfaces.
En muchos casos en los que existe una relación conjeturada o probada entre un modelo discreto y SLE κ , también existe una relación conjeturada o probada con CLE κ . Por ejemplo:
Para 8/3 < κ < 8, CLE κ puede construirse utilizando una variación de ramificación de un proceso SLE κ ( Sheffield (2009) ). Cuando 8/3 < κ ≤ 4, CLE κ puede construirse alternativamente como la colección de límites exteriores de grupos de sopa de bucles brownianos ( Sheffield y Werner (2010) ).
CLE κ es conformemente invariante, lo que significa que si es un mapa conforme, entonces la ley de un CLE en D' es la misma que la ley de la imagen de todos los bucles CLE en D bajo el mapa .
Dado que CLE κ se puede definir utilizando un proceso SLE κ , los bucles CLE heredan muchas propiedades de ruta de SLE. Por ejemplo, cada bucle CLE κ es un fractal con una dimensión de Hausdorff casi segura de 1+κ/8. Cada bucle es casi seguro simple (sin intersecciones propias) cuando 8/3 < κ ≤ 4 y casi seguro que se toca a sí mismo cuando 4 < κ < 8.
El conjunto de todos los puntos que no están contenidos en un bucle, que se llama la junta , tiene dimensión de Hausdorff 1 + 2/κ + 3κ/32 casi con seguridad (Sopas aleatorias, alfombras y dimensiones fractales de Nacu y Werner. Miller, Sun y Wilson (2012) ). Dado que esta dimensión es estrictamente mayor que 1+κ/8, es casi seguro que hay puntos que no están contenidos ni rodeados por ningún bucle. Sin embargo, dado que la dimensión de la junta es estrictamente menor que 2, casi todos los puntos (con respecto a la medida del área) están contenidos en el interior de un bucle.
