Conglomerado (matemáticas)
En matemáticas , en el marco de la base de un universo para la teoría de categorías , [1] [2] el término "conglomerado" se aplica a conjuntos arbitrarios como una contraposición a los conjuntos distinguidos que son elementos de un universo de Grothendieck . [3] [4] [5] [6] [7] [8]
Las teorías de conjuntos axiomáticas más populares, la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC), la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) y la teoría de conjuntos de Morse-Kelley (MK), admiten extensiones no conservativas que surgen después de agregar un axioma suplementario. de existencia de un universo de Grothendieck . Un ejemplo de tal extensión es la teoría de conjuntos de Tarski-Grothendieck , donde se postula una jerarquía infinita de universos de Grothendieck.
El concepto de conglomerado fue creado para tratar con "colecciones" de clases , lo cual es deseable en la teoría de categorías para que cada clase pueda ser considerada como un elemento de una "colección más general", un conglomerado. Técnicamente esto está organizado por cambios en la terminología: cuando se agrega un universo de Grothendieck a la teoría axiomática de conjuntos elegida ( ZFC / NBG / MK ) se considera conveniente [9] [10]
Formalmente esta construcción describe un modelo de la teoría de conjuntos axiomática inicial ( ZFC / NBG / MK ) en la extensión de esta teoría ("ZFC/NBG/MK+ universo de Grothendieck ") con el universo. [1] : 195 [2] : 23
Si la teoría de conjuntos axiomática inicial admite la idea de clase propia (es decir, un objeto que no puede ser un elemento de ningún otro objeto, como la clase de todos los conjuntos en NBG y en MK), entonces estos objetos (clases propias) se descartan. de la consideración en la nueva teoría ("universo NBG/MK+Grothendieck"). Sin embargo, (sin contar los posibles problemas causados por el axioma de existencia suplementario de ) esto en cierto sentido no conduce a una pérdida de información sobre los objetos de la antigua teoría (NBG o MK) desde su representación como modelo en la nueva teoría. ("Universo NBG/MK+Grothendieck") significa que lo que se puede probar en NBG/MK sobre sus objetos habituales llamados clases (incluidas las clases propias) también se puede probar en "Universo NBG/MK+Grothendieck" sobre sus clases (es decir,sobre subconjuntos de, incluidos los subconjuntos que no son elementos de , que son análogos de las clases propias de NBG/MK). Al mismo tiempo, la nueva teoría no es equivalente a la inicial, ya que algunas proposiciones adicionales sobre clases pueden probarse en el "universo NBG/MK+Grothendieck" pero no en NBG/MK.
El cambio de terminología a veces se denomina "convención de conglomerado". [7] : 6 El primer paso, realizado por Mac Lane, [1] : 195 [2] : 23 es aplicar el término "clase" solo a subconjuntos de Mac Lane no redefine los términos teóricos de conjuntos existentes; más bien, trabaja en una teoría de conjuntos sin clases (ZFC, no NBG/MK), llama a los miembros de "conjuntos pequeños" y afirma que los conjuntos pequeños y las clases satisfacen los axiomas de NBG. No necesita "conglomerados", ya que los conjuntos no necesitan ser pequeños.
