En matemáticas , un universo de Grothendieck es un conjunto U con las siguientes propiedades:
- Si x es un elemento de U y si y es un elemento de x , a continuación, y también es un elemento de U . ( U es un conjunto transitivo ).
- Si x y y son ambos elementos de U , a continuación,es un elemento de U .
- Si x es un elemento de U , entonces P ( x ), el conjunto potencia de x , es también un elemento de U .
- Si es una familia de elementos de U , y si I es un elemento de U , entonces la uniónes un elemento de U .
Un universo de Grothendieck está destinado a proporcionar un conjunto en el que se puedan realizar todas las matemáticas. (De hecho, incontables universos de Grothendieck proporcionan modelos de teoría de conjuntos con la relación ∈ natural, la operación de conjunto de potencia natural, etc.). Los elementos de un universo de Grothendieck a veces se denominan conjuntos pequeños . La idea de los universos se debe a Alexander Grothendieck , quien los utilizó como una forma de evitar las clases adecuadas de geometría algebraica .
La existencia de un universo de Grothendieck no trivial va más allá de los axiomas habituales de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel ; en particular, implicaría la existencia de cardenales fuertemente inaccesibles . La teoría de conjuntos de Tarski-Grothendieck es un tratamiento axiomático de la teoría de conjuntos, utilizado en algunos sistemas de prueba automáticos, en los que cada conjunto pertenece a un universo de Grothendieck. El concepto de universo de Grothendieck también se puede definir en un topos . [1]
Propiedades
Como ejemplo, demostraremos ser una propuesta fácil.
- Proposición . Si y , luego .
- Prueba. porque . porque , entonces .
Es igualmente fácil demostrar que cualquier universo de Grothendieck U contiene:
- Todos los singletons de cada uno de sus elementos,
- Todos los productos de todas las familias de elementos de U indexados por un elemento de U ,
- Todas las uniones disjuntas de todas las familias de elementos de U indexadas por un elemento de U ,
- Todas las intersecciones de todas las familias de elementos de U indexadas por un elemento de U ,
- Todas las funciones entre dos elementos cualesquiera de U , y
- Todos los subconjuntos de U cuyo cardinal es un elemento de U .
En particular, del último axioma se deduce que si U no está vacío, debe contener todos sus subconjuntos finitos y un subconjunto de cada cardinalidad finita. También se puede probar inmediatamente a partir de las definiciones que la intersección de cualquier clase de universos es un universo.
Universos de Grothendieck y cardenales inaccesibles
Hay dos ejemplos simples de universos de Grothendieck:
- El conjunto vacío, y
- El conjunto de todos los conjuntos finitos hereditariamente .
Otros ejemplos son más difíciles de construir. Hablando libremente, esto se debe a que los universos de Grothendieck son equivalentes a los cardenales fuertemente inaccesibles . Más formalmente, los siguientes dos axiomas son equivalentes:
- (U) Para cada conjunto x , existe una Grothendieck universo U de tal manera que x ∈ U .
- (C) Para cada κ cardinal, hay un λ cardinal fuertemente inaccesible que es estrictamente mayor que κ.
Para probar este hecho, introducimos la función c ( U ). Definir:
donde por | x | nos referimos a la cardinalidad de x . Entonces, para cualquier universo U , c ( U ) es cero o muy inaccesible. Suponiendo que no es cero, es un fuerte cardinal límite porque el conjunto de alimentación de cualquier elemento de la U es un elemento de U y cada elemento de la U es un subconjunto de U . Para ver que es regular, suponga que c λ es una colección de cardinales indexados por I , donde la cardinalidad de I y de cada c λ es menor que c ( U ). Entonces, por la definición de c ( U ), I y cada c λ puede ser sustituido por un elemento de U . La unión de elementos de U indexados por un elemento de U es un elemento de U , por lo que la suma de c λ tiene la cardinalidad de un elemento de U , por lo tanto, es menor que c ( U ). Al invocar el axioma de fundación, que ningún conjunto está contenido en sí mismo, se puede demostrar que c ( U ) es igual a | U |; cuando no se asume el axioma de fundación, hay contraejemplos (podemos tomar, por ejemplo, U como el conjunto de todos los conjuntos finitos de conjuntos finitos, etc. de los conjuntos x α donde el índice α es cualquier número real, y x α = { x α } para cada α . Entonces U tiene la cardinalidad del continuo, pero todos sus miembros tienen cardinalidad finita y por lo tanto ; consulte el artículo de Bourbaki para obtener más detalles).
Sea κ un cardenal fuertemente inaccesible. Digamos que un conjunto S es estrictamente de tipo κ si para cualquier secuencia s n ∈ ... ∈ s 0 ∈ S , | s n | < κ . (La propia S corresponde a la secuencia vacía). Entonces, el conjunto u ( κ ) de todos los conjuntos estrictamente de tipo κ es un universo de Grothendieck de cardinalidad κ. La prueba de este hecho es larga, por lo que para más detalles, volvemos a consultar el artículo de Bourbaki, que se enumera en las referencias.
Para mostrar que el axioma cardinal grande (C) implica el axioma del universo (U), elija un conjunto x . Sea x 0 = x , y para cada n , sea x n +1 = x n sea la unión de los elementos de x n . Sea y =x n . Por (C), hay un cardinal κ fuertemente inaccesible tal que | y | <κ. Sea u ( κ ) el universo del párrafo anterior. x es estrictamente de tipo κ, entonces x ∈ u ( κ ). Para mostrar que el axioma del universo (U) implica el axioma cardinal grande (C), elija un κ cardinal. κ es un conjunto, por lo que es un elemento de un universo de Grothendieck U . La cardinalidad de U es muy inaccesible y estrictamente mayor que la de κ.
De hecho, cualquier universo de Grothendieck tiene la forma u ( κ ) para algunos κ. Esto da otra forma de equivalencia entre los universos de Grothendieck y los cardenales fuertemente inaccesibles:
- Para cualquier universo de Grothendieck U , | U | es cero, , o un cardenal fuertemente inaccesible. Y si κ es cero, , o un cardenal fuertemente inaccesible, entonces existe un universo de Grothendieck u (κ). Además, u (| U |) = U , y | u ( κ ) | = κ .
Dado que la existencia de cardinales fuertemente inaccesibles no puede probarse a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC), la existencia de universos distintos del conjunto vacío ytampoco se puede probar desde ZFC. Sin embargo, los cardenales fuertemente inaccesibles están en el extremo inferior de la lista de grandes cardenales ; así, la mayoría de las teorías establecidas que utilizan grandes cardinales (como "ZFC más hay un cardinal medible ", "ZFC más hay infinitos cardenales Woodin ") probarán que los universos de Grothendieck existen.
Ver también
Notas
- ^ Streicher, Thomas (2006). "Universos en Toposes" (PDF) . De conjuntos y tipos a topología y análisis: hacia fundamentos practicables para las matemáticas constructivas . Prensa de Clarendon. págs. 78–90. ISBN 9780198566519.
Referencias
- Bourbaki, Nicolas (1972). "Univers" . En Michael Artin ; Alexandre Grothendieck ; Jean-Louis Verdier (eds.). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963–64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 1 (Lecture Notes in Mathematics 269 ) (en francés). Berlina; Nueva York: Springer-Verlag . págs. 185–217.