En la teoría de las variedades suaves , una congruencia es el conjunto de curvas integrales definidas por un campo vectorial no nulo definido en la variedad.
Las congruencias son un concepto importante en la relatividad general , y también son importantes en partes de la geometría de Riemann .
La idea de congruencia probablemente se explica mejor con un ejemplo que con una definición. Considere la variedad suave R ². Los campos vectoriales se pueden especificar como operadores diferenciales parciales lineales de primer orden , como
donde punto denota una derivada con respecto a algún parámetro (ficticio). Las soluciones de tales sistemas son familias de curvas parametrizadas , en este caso
Este ejemplo particular tiene dos singularidades , donde el campo vectorial desaparece. Estos son puntos fijos del flujo . (Un flujo es un grupo unidimensional de difeomorfismos ; un flujo define una acción por el grupo de Lie unidimensional R , que tiene buenas propiedades geométricas localmente). Estas dos singularidades corresponden a dos puntos , en lugar de dos curvas. En este ejemplo, las otras curvas integrales son todas curvas cerradas simples . Muchos flujos son considerablemente más complicados que esto. Para evitar complicaciones derivadas de la presencia de singularidades, normalmente se requiere que el campo vectorial seano desaparece
Por ejemplo, si convertimos nuestra variedad suave en una variedad de Riemann agregando un tensor métrico de Riemann , digamos el definido por el elemento de línea