En matemáticas , una curva integral es una curva paramétrica que representa una solución específica a una ecuación diferencial ordinaria o sistema de ecuaciones. Si la ecuación diferencial se representa como un campo vectorial o un campo de pendiente , entonces las curvas integrales correspondientes son tangentes al campo en cada punto.
Las curvas integrales se conocen con varios otros nombres, dependiendo de la naturaleza e interpretación de la ecuación diferencial o campo vectorial. En física , las curvas integrales para un campo eléctrico o campo magnético se conocen como líneas de campo , y las curvas integrales para el campo de velocidad de un fluido se conocen como líneas de corriente . En los sistemas dinámicos , las curvas integrales de una ecuación diferencial que gobierna un sistema se denominan trayectorias u órbitas .
Definición
Supongamos que F es un campo vectorial : es decir, una función con valores vectoriales con coordenadas cartesianas ( F 1 , F 2 , ..., F n ); y x ( t ) una curva paramétrica con coordenadas cartesianas ( x 1 ( t ), x 2 ( t ), ..., x n ( t )). Entonces x ( t ) es una curva integral de F si es una solución del siguiente sistema autónomo de ecuaciones diferenciales ordinarias:
Tal sistema puede escribirse como una ecuación vectorial simple
Esta ecuación dice que el vector tangente a la curva en cualquier punto x ( t ) a lo largo de la curva es precisamente el vector F ( x ( t )), por lo que la curva x ( t ) es tangente en cada punto al campo vectorial F .
Si un campo vectorial dado es continuo de Lipschitz , entonces el teorema de Picard-Lindelöf implica que existe un flujo único por poco tiempo.
Generalización a variedades diferenciables
Definición
Sea M una variedad de Banach de clase C r con r ≥ 2. Como de costumbre, T M denota el paquete tangente de M con su proyección natural π M : T M → M dada por
Un campo vectorial en M es una sección transversal del paquete tangente T M , es decir, una asignación a cada punto de la variedad M de un vector tangente a M en ese punto. Deje que X sea un campo vectorial en M de clase C r -1 y dejar que p ∈ M . Una curva integral para X que pasa por p en el tiempo t 0 es una curva α : J → M de clase C r −1 , definida en un intervalo abierto J de la línea real R que contiene t 0 , tal que
Relación con ecuaciones diferenciales ordinarias
La definición anterior de una curva integral α para un campo vectorial X , que pasa por p en el tiempo t 0 , es lo mismo que decir que α es una solución local a la ecuación diferencial ordinaria / problema de valor inicial
Es local en el sentido de que se define solo para los tiempos en J , y no necesariamente para todo t ≥ t 0 (y mucho menos t ≤ t 0 ). Por lo tanto, el problema de probar la existencia y unicidad de las curvas integrales es el mismo que el de encontrar soluciones a las ecuaciones diferenciales ordinarias / problemas de valor inicial y demostrar que son únicas.
Observaciones sobre la derivada temporal
En lo anterior, α ′ ( t ) denota la derivada de α en el momento t , la "dirección que apunta α " en el momento t . Desde un punto de vista más abstracto, este es el derivado de Fréchet :
En el caso especial de que M sea un subconjunto abierto de R n , esta es la derivada familiar
donde α 1 , ..., α n son las coordenadas para α con respecto a las direcciones de coordenadas habituales.
Lo mismo puede expresarse de manera aún más abstracta en términos de mapas inducidos . Tenga en cuenta que el paquete tangente T J de J es el paquete trivial J × R y hay una sección transversal canónica ι de este paquete tal que ι ( t ) = 1 (o, más precisamente, ( t , 1) ∈ ι ) para todos t ∈ J . La curva α induce un mapa de paquetes α ∗ : T J → T M de modo que el siguiente diagrama conmuta:
Entonces el tiempo derivado de α 'es la composición α ' = α * o ι , y α '( t ) es su valor en algún momento t ∈ J .
Referencias
- Lang, Serge (1972). Colectores diferenciales . Reading, Mass. – Londres – Don Mills, Ontario: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.