En matemáticas , un haz construible es un haz de grupos abelianos sobre algún espacio topológico X , de modo que X es la unión de un número finito de subconjuntos localmente cerrados en cada uno de los cuales el haz es un haz localmente constante. Es una generalización de la topología construible en geometría algebraica clásica.
En étale cohomology, las gavillas construibles se definen de manera similar ( Deligne 1977 , IV.3). Un haz de grupos abelianos en un esquema noetheriano se llama construible si el esquema tiene una cubierta finita por subesquemas localmente cerrados en los que el haz es localmente constante construible (es decir, representado por una cubierta étale). Para la categoría derivada de poleas construibles, vea una sección en gavilla ℓ-ádica .
El teorema de finitud en étale cohomology establece que las imágenes directas superiores de una gavilla construible son construibles.
Definición de poleas construibles étale en un esquema X
Aquí utilizamos la definición de gavillas étale construibles del libro de Freitag y Kiehl al que se hace referencia a continuación. En lo que sigue en esta subsección, todas las poleas en esquemas son poleas étale a menos que se indique lo contrario.
Una gavilla se llama constructible si se puede escribir como una unión finita de subesquemas cerrados localmente tal que para cada subesquema de la cubierta, la gavilla es una gavilla finita localmente constante. En particular, esto significa para cada subesquema que aparece en la cubierta finita, hay una cubierta étale tal que para todos los subesquemas étale en la portada de , la gavilla es constante y está representado por un conjunto finito.
Esta definición nos permite derivar, de la inducción noetheriana y el hecho de que una gavilla étale es constante si y solo si su restricción de a es constante también, donde es la reducción del esquema . Luego se deduce que una gavilla de étale representable es en sí mismo construible.
De particular interés para la teoría de las gavillas étale construibles es el caso en el que se trabaja con gavillas étale construibles de grupos abelianos. El resultado notable es que las gavillas de étale construibles de los grupos abelianos son precisamente los objetos noetherianos en la categoría de todas las gavillas de étale de torsión (cf. Proposición I.4.8 de Freitag-Kiehl).
Ejemplos en topología algebraica
La mayoría de los ejemplos de poleas construibles provienen de poleas de cohomología de intersección o del empuje hacia adelante derivado de un sistema local en una familia de espacios topológicos parametrizados por un espacio base.
Impulso derivado en P 1
Un buen conjunto de ejemplos de poleas construibles proviene del empuje hacia adelante derivado (con o sin soporte compacto) de un sistema local en . Dado que cualquier bucle alrededor es homotópico a un bucle alrededor solo tenemos que describir la monodromía alrededor y . Por ejemplo, podemos configurar los operadores de monodromía para que sean
donde los tallos de nuestro sistema local son isomorfos a . Entonces, si tomamos el impulso derivado o de por obtenemos una gavilla construible donde los tallos en los puntos calcular la cohomología de los sistemas locales restringidos a una vecindad de ellos en .
Familia Weierstrass de curvas elípticas
Por ejemplo, considere la familia de curvas elípticas en degeneración
encima . Aesta familia de curvas degenera en una curva nodal. Si denotamos a esta familia por luego
y
donde los tallos del sistema local son isomorfos a . Esta monodromía local alrededor de este sistema local alrededorse puede calcular utilizando la fórmula de Picard-Lefschetz
Referencias
Notas del seminario
- Gunningham, Sam; Hughes, Richard, Temas en módulos D (PDF) , archivado desde el original (PDF) el 21 de septiembre de 2017
Referencias
- Deligne, Pierre , ed. (1977), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - Cohomologie étale (SGA 4.5) , Lecture Notes in Mathematics (en francés), 569 , Berlín: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0091516 , ISBN 978-0-387-08066-6, archivado desde el original el 15 de mayo de 2009 , consultado el 9 de febrero de 2010
- Dimca, Alexandru (2004), Sheaves in topology , Universitext, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-20665-1, MR 2050072
- Freitag, Eberhard; Kiehl, Reinhardt (1988), Etale Cohomology and the Weil Conjecture , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), 13 , Berlín: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-3-662-02541-3 , ISBN 3-540-12175-7, MR 0926276