En topología , una rama de las matemáticas , la homología de intersección es un análogo de la homología singular especialmente adecuada para el estudio de espacios singulares , descubierto por Mark Goresky y Robert MacPherson en el otoño de 1974 y desarrollado por ellos durante los próximos años.
La cohomología de intersección se utilizó para probar las conjeturas de Kazhdan-Lusztig y la correspondencia de Riemann-Hilbert . Está estrechamente relacionado con la cohomología L 2 .
Enfoque de Goresky-MacPherson
Los grupos de homología de una variedad X compacta , orientada , conectada y n- dimensional tienen una propiedad fundamental llamada dualidad de Poincaré : hay un emparejamiento perfecto
Clásicamente, volviendo, por ejemplo, a Henri Poincaré, esta dualidad se entendió en términos de la teoría de la intersección . Un elemento de
está representado por un ciclo j- dimensional. Si un i- dimensional y un-ciclo dimensional están en posición general , entonces su intersección es una colección finita de puntos. Usando la orientación de X se puede asignar a cada uno de estos puntos un signo; en otras palabras, la intersección produce un ciclo 0- dimensional. Se puede probar que la clase de homología de este ciclo depende solo de las clases de homología del i original - y-ciclos dimensionales; además, se puede demostrar que este emparejamiento es perfecto .
Cuando X tiene singularidades , es decir, cuando el espacio tiene lugares que no se parecen—Estas ideas se rompen. Por ejemplo, ya no es posible entender la noción de "posición general" para los ciclos. Goresky y MacPherson introdujeron una clase de ciclos "permitidos" para los que la posición general tiene sentido. Introdujeron una relación de equivalencia para los ciclos permitidos (donde solo los "límites permitidos" son equivalentes a cero), y llamaron al grupo
de ciclos i -dimensionales permisibles módulo esta relación de equivalencia "homología de intersección". Además, demostraron que la intersección de una i y una-ciclo permisible dimensional da un ciclo cero (ordinario) cuya clase de homología está bien definida.
Estratificaciones
La homología de intersección se definió originalmente en espacios adecuados con una estratificación , aunque los grupos a menudo resultan ser independientes de la elección de estratificación. Hay muchas definiciones diferentes de espacios estratificados. Uno conveniente para la homología de intersección es un pseudomotor topológico n- dimensional . Este es un espacio X ( paracompacto , Hausdorff ) que tiene una filtración
de X por subespacios cerrados tales que:
- Para cada iy para cada punto x de, existe un barrio de x en X , un compacto-espacio estratificado dimensional L , y un homeomorfismo que preserva la filtración. Aquíes el cono abierto en L .
- .
- es denso en X .
Si X es un pseudomúltiple topológico, el estrato i- dimensional de X es el espacio.
Ejemplos:
- Si X es un complejo simplicial n- dimensional tal que cada simplex está contenido en un n -simplex y n −1 simplex está contenido exactamente en dos n -simplexes, entonces el espacio subyacente de X es un pseudomúltiple topológico.
- Si X es una variedad cuasi-proyectiva compleja (posiblemente con singularidades), entonces su espacio subyacente es una pseudomultiplicación topológica, con todos los estratos de dimensión uniforme.
Perversidades
Grupos de homología de intersección Dependen de una elección de perversidad , que mide hasta qué punto se permite que los ciclos se desvíen de la transversalidad. (El origen del nombre "perversidad" fue explicado por Goresky (2010) .) Una perversidad es una función
de enteros a los enteros tales que
- .
- .
La segunda condición se usa para mostrar la invariancia de los grupos de homología de intersección bajo cambio de estratificación.
La perversidad complementaria de es el que tiene
- .
Los grupos de homología de intersección de dimensión complementaria y perversidad complementaria están emparejados por parejas.
Ejemplos de perversidades
- La mínima perversidad tiene . Su complemento es la máxima perversidad con.
- La perversidad media (baja) m está definida por, la parte entera de. Su complemento es la perversidad media-alta, con valores. Si no se especifica la perversidad, generalmente se refiere a la perversidad media-baja. Si un espacio puede estratificarse con todos los estratos de dimensión par (por ejemplo, cualquier variedad compleja), entonces los grupos de homología de intersección son independientes de los valores de la perversidad en números enteros impares, por lo que las perversidades medias superior e inferior son equivalentes.
Homología de intersección singular
Fijar una pseudomúltiple X topológica de dimensión n con cierta estratificación, y una perversidad p .
Un mapa σ del estándar i -simplex a X (un simplex singular) se llama permisible si
está contenido en el esqueleto de .
El complejo es un subcomplejo del complejo de cadenas singulares en X que consta de todas las cadenas singulares de manera que tanto la cadena como su límite son combinaciones lineales de símplex singulares permitidos. Los grupos de homología de intersección singular (con perversidad p )
son los grupos de homología de este complejo.
Si X tiene una triangulación compatible con la estratificación, entonces los grupos de homología de intersección simplicial se pueden definir de una manera similar, y son naturalmente isomórficos a los grupos de homología de intersección singular.
Los grupos intersección de homología son independientes de la elección de la estratificación de X .
Si X es una variedad topológica, entonces los grupos de homología de intersección (para cualquier perversidad) son los mismos que los grupos de homología habituales.
Pequeñas resoluciones
Una resolución de singularidades
de una variedad compleja Y se llama resolución pequeña si para cada r > 0, el espacio de puntos de Y donde la fibra tiene dimensión r es de codimensión mayor que 2 r . En términos generales, esto significa que la mayoría de las fibras son pequeñas. En este caso, el morfismo induce un isomorfismo de la homología (de intersección) de X a la homología de intersección de Y (con la perversidad media).
Existe una variedad con dos pequeñas resoluciones diferentes que tienen diferentes estructuras de anillo en su cohomología, lo que muestra que, en general, no hay una estructura de anillo natural en la (co) homología de intersección.
Teoría de la gavilla
La fórmula de Deligne para la cohomología de intersección establece que
dónde es un cierto complejo de haces construibles en X (considerado como un elemento de la categoría derivada, por lo que la cohomología de la derecha significa la hipercohomología del complejo). El complejo se obtiene comenzando con la gavilla constante en el conjunto abierto y extendiéndolo repetidamente a conjuntos abiertos más grandes y luego truncarlo en la categoría derivada; más precisamente está dado por la fórmula de Deligne
dónde es un functor de truncamiento en la categoría derivada, es la inclusión de dentro , y es la gavilla constante en . [1]
Reemplazando la gavilla constante en con un sistema local, se puede usar la fórmula de Deligne para definir la cohomología de intersección con coeficientes en un sistema local.
Ejemplos de
Dada una curva elíptica suave definido por un polinomio cúbico homogéneo [2] pág. 281-282 , como, el cono afín
tiene una singularidad aislada en el origen ya que y todas las derivadas parciales desaparecer. Esto se debe a que es homogéneo de grado, y las derivadas son homogéneas de grado 2. Ajuste y el mapa de inclusión, el complejo de intersecciones se da como
Esto se puede calcular explícitamente observando los tallos de la cohomología. A dónde el empuje hacia adelante derivado es el mapa de identidad en un punto liso, por lo que la única cohomología posible se concentra en . Para la cohomología es más interesante ya que
por donde el cierre de contiene el origen. Dado que cualquier puede refinarse considerando la intersección de un disco abierto en con , podemos simplemente calcular la cohomología de . Esto se puede hacer observando es un paquete sobre la curva elíptica , el paquete de hiperplano , y la secuencia de Wang da los grupos de cohomología
de ahí las gavillas de cohomología en el tallo están
truncar esto da las gavillas de cohomología no triviales , por lo tanto, el haz de cohomología de intersección es
La última descomposición se deriva del teorema de descomposición .
Propiedades del complejo IC ( X )
El complejo IC p ( X ) tiene las siguientes propiedades
- En el complemento de algún conjunto cerrado de codimensión 2, tenemos
- es 0 para i + m ≠ 0, y para i = - m los grupos forman el sistema local constante C
- es 0 para i + m <0
- Si i > 0 entonceses cero excepto en un conjunto de codimensión al menos a para la más pequeña a con p ( a ) ≥ m - i
- Si i > 0 entonceses cero excepto en un conjunto de codimensión al menos a para la más pequeña a con q ( a ) ≥ ( i )
Como de costumbre, q es la perversidad complementaria de p . Además, el complejo se caracteriza únicamente por estas condiciones, hasta el isomorfismo en la categoría derivada. Las condiciones no dependen de la elección de la estratificación, por lo que esto muestra que la cohomología de intersección tampoco depende de la elección de la estratificación.
La dualidad de Verdier lleva IC p a IC q desplazado por n = dim ( X ) en la categoría derivada.
Ver también
- Teorema de descomposición
- Homología Borel-Moore
- Espacio topológicamente estratificado
- Teoría de la intersección
- Gavilla perversa
- Estructura mixta de Hodge
Referencias
- ^ Advertencia: hay más de una convención sobre la forma en que la perversidad entra en la construcción de Deligne: los números a veces se escriben como .
- ^ Teoría de Hodge (PDF) . Cattani, E. (Eduardo), 1946-, El Zein, Fouad, Griffiths, Phillip, 1938-, Lê, Dũng Tráng. Princeton. 21 de julio de 2014. ISBN 978-0-691-16134-1. OCLC 861677360 . Archivado desde el original el 15 de agosto de 2020.CS1 maint: otros ( enlace )
- Armand Borel , Cohomología de intersección (Progreso en matemáticas (Birkhauser Boston)) ISBN 0-8176-3274-3
- Mark Goresky y Robert MacPherson, La dualité de Poincaré pour les espaces singuliers. CR Acad. Sci. t. 284 (1977), págs. 1549-1551 Serie A.
- Goresky, Mark (2010), ¿Cuál es la etimología del término "gavilla perversa"?
- Goresky, Mark; MacPherson, Robert, Teoría de homología de intersecciones , Topología 19 (1980), no. 2, 135-162. doi : 10.1016 / 0040-9383 (80) 90003-8
- Goresky, Mark; MacPherson, Robert, homología de intersección. II , Inventiones Mathematicae 72 (1983), no. 1, 77-129. 10.1007 / BF01389130 Señor0696691 Esto da un enfoque teórico de la gavilla a la cohomología de intersección.
- Frances Kirwan, Jonathan Woolf Introducción a la teoría de la homología de intersecciones,ISBN 1-58488-184-4
- Kleiman, Steven. El desarrollo de la teoría de la homología de intersecciones. Un siglo de matemáticas en América, Parte II, Hist. Matemáticas. 2, Amer. Matemáticas. Soc., 1989, págs. 543–585.
- "Homología de intersección" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
enlaces externos
- ¿Cuál es la etimología del término "gavilla perversa"? (incluye discusión sobre la etimología del término "homología de intersección") - MathOverflow