Caminata aleatoria en tiempo continuo

caminata aleatoria con tiempo aleatorio entre saltos

En matemáticas, una caminata aleatoria de tiempo continuo ( CTRW ) es una generalización de una caminata aleatoria donde la partícula errante espera un tiempo aleatorio entre saltos. Es un proceso de salto estocástico con distribuciones arbitrarias de longitudes de salto y tiempos de espera. ^{[1] [2] [3]} De manera más general, puede verse como un caso especial de un proceso de renovación de Markov .

Motivación

El CTRW fue introducido por Montroll y Weiss ^[4] como una generalización del proceso de difusión física para describir eficazmente la difusión anómala , es decir, los casos superdifusivos y subdifusivos . Una formulación equivalente del CTRW viene dada por ecuaciones maestras generalizadas . ^[5] Se ha establecido una conexión entre las CTRW y las ecuaciones de difusión con derivadas de tiempo fraccionario . ^[6] De manera similar, las ecuaciones de difusión fraccionaria espacio-temporal se pueden considerar como CTRW con saltos distribuidos continuamente o aproximaciones continuas de CTRW en celosías. ^[7]

Formulación

Una formulación simple de un CTRW es considerar el proceso estocástico definido por${\displaystyle X(t)}$

${\displaystyle X(t)=X_{0}+\sum _{i=1}^{N(t)}\Delta X_{i},}$

cuyos incrementos son iid variables aleatorias que toman valores en un dominio y es el número de saltos en el intervalo . La probabilidad de que el proceso tome el valor en el tiempo viene dada por${\displaystyle \Delta X_{i}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle N(t)}$${\displaystyle (0,t)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle P(X,t)=\sum _{n=0}^{\infty }P(n,t)P_{n}(X).}$

Aquí está la probabilidad de que el proceso tome el valor después de los saltos y es la probabilidad de tener saltos después de un tiempo .${\displaystyle P_{n}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle P(n,t)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle t}$

Fórmula Montroll – Weiss

Denotamos por el tiempo de espera entre dos saltos de y por su distribución. La transformada de Laplace de está definida por${\displaystyle \tau }$${\displaystyle N(t)}$${\displaystyle \psi (\tau )}$${\displaystyle \psi (\tau )}$

${\displaystyle {\tilde {\psi }}(s)=\int _{0}^{\infty }d\tau \,e^{-\tau s}\psi (\tau ).}$

De manera similar, la función característica de la distribución de salto viene dada por su transformada de Fourier :${\displaystyle f(\Delta X)}$

${\displaystyle {\hat {f}}(k)=\int _{\Omega }d(\Delta X)\,e^{ik\Delta X}f(\Delta X).}$

Se puede demostrar que la transformada de Laplace-Fourier de la probabilidad está dada por${\displaystyle P(X,t)}$

${\displaystyle {\hat {\tilde {P}}}(k,s)={\frac {1-{\tilde {\psi }}(s)}{s}}{\frac {1}{1-{\tilde {\psi }}(s){\hat {f}}(k)}}.}$

Lo anterior se llama fórmula de Montroll - Weiss .

Ejemplos de

El proceso homogéneo de puntos de Poisson es una caminata aleatoria de tiempo continuo con tiempos de espera exponenciales y con cada incremento determinísticamente igual a 1.

Referencias

1. Klages, Rainer; Radones, Guenther; Sokolov, Igor M. (8 de septiembre de 2008). Transporte anómalo: fundamentos y aplicaciones . ISBN 9783527622986.
2. Paul, Wolfgang; Baschnagel, Jörg (11 de julio de 2013). Procesos estocásticos: de la física a las finanzas . Springer Science & Business Media. págs. 72–. ISBN 9783319003276. Consultado el 25 de julio de 2014 .
3. Slanina, Frantisek (5 de diciembre de 2013). Fundamentos del modelado económico . OUP Oxford. págs. 89–. ISBN 9780191009075. Consultado el 25 de julio de 2014 .
4. Elliott W. Montroll; George H. Weiss (1965). "Paseos aleatorios sobre celosías. II". J. Math. Phys . 6 (2): 167. Código Bibliográfico : 1965JMP ..... 6..167M . doi : 10.1063 / 1.1704269 .
5. . M. Kenkre; EW Montroll; MF Shlesinger (1973). "Ecuaciones maestras generalizadas para paseos aleatorios en tiempo continuo". Revista de física estadística . 9 (1): 45–50. Código Bibliográfico : 1973JSP ..... 9 ... 45K . doi : 10.1007 / BF01016796 .
6. Hilfer, R .; Anton, L. (1995). "Ecuaciones maestras fraccionales y paseos aleatorios en tiempo fractal". Phys. Rev. E . 51 (2): R848 – R851. Código Bibliográfico : 1995PhRvE..51..848H . doi : 10.1103 / PhysRevE.51.R848 .
7. Gorenflo, Rudolf ; Mainardi, Francesco; Vivoli, Alessandro (2005). "Paseo aleatorio en tiempo continuo y subordinación paramétrica en difusión fraccionada". Caos, solitones y fractales . 34 (1): 87–103. arXiv : cond-mat / 0701126 . Código Bibliográfico : 2007CSF .... 34 ... 87G . doi : 10.1016 / j.chaos.2007.01.052 .