Un juego continuo es un concepto matemático, utilizado en la teoría de juegos , que generaliza la idea de un juego ordinario como tic-tac-toe (ceros y cruces) o damas (borradores). En otras palabras, amplía la noción de un juego discreto, donde los jugadores eligen entre un conjunto finito de estrategias puras. Los conceptos de juego continuo permiten que los juegos incluyan conjuntos más generales de estrategias puras, que pueden ser incontables veces infinitas .
En general, un juego con innumerables conjuntos de estrategias no necesariamente tendrá una solución de equilibrio de Nash . Sin embargo, si se requiere que los conjuntos de estrategias sean compactos y las funciones de utilidad sean continuas , entonces se garantizará un equilibrio de Nash; esto es por la generalización de Glicksberg del teorema del punto fijo de Kakutani . Por esta razón, la clase de juegos continuos generalmente se define y estudia como un subconjunto de la clase más grande de juegos infinitos (es decir, juegos con conjuntos de estrategias infinitos) en los que los conjuntos de estrategias son compactos y las funciones de utilidad continuas.
Definicion formal
Definir el juego continuo de n jugadores dónde
- es el conjunto de jugadores
- donde cada es un conjunto compacto , en un espacio métrico , correspondiente a la º conjunto de jugador de estrategias puras,
- dónde es la función de utilidad del jugador
- Definimos para ser el conjunto de medidas de probabilidad de Borel en , dándonos el espacio de estrategia mixta del jugador i .
- Definir el perfil de la estrategia dónde
Dejar ser un perfil de estrategia de todos los jugadores excepto el jugador . Al igual que con los juegos discretos, podemos definir una mejor correspondencia de respuesta para el jugador., . es una relación del conjunto de todas las distribuciones de probabilidad sobre los perfiles del jugador oponente a un conjunto de jugadores estrategias, de modo que cada elemento de
es la mejor respuesta a . Definir
- .
Un perfil de estrategia es un equilibrio de Nash si y solo siLa existencia de un equilibrio de Nash para cualquier juego continuo con funciones de utilidad continuas se puede probar utilizando la generalización de Irving Glicksberg del teorema del punto fijo de Kakutani . [1] En general, es posible que no haya una solución si permitimos espacios de estrategia,'s que no son compactos, o si permitimos funciones de utilidad no continuas.
Juegos separables
Un juego separable es un juego continuo donde, para cualquier i, la función de utilidad se puede expresar en forma de suma de productos:
- , dónde , , , y las funciones son continuos.
Un juego polinomial es un juego separable donde cada es un intervalo compacto en y cada función de utilidad se puede escribir como un polinomio multivariado.
En general, los equilibrios de Nash mixtos de juegos separables son más fáciles de calcular que los juegos no separables, como lo implica el siguiente teorema:
- Para cualquier juego separable, existe al menos un equilibrio de Nash donde el jugador i mezcla como máximo estrategias puras. [2]
Mientras que una estrategia de equilibrio para un juego no separable puede requerir un apoyo infinito incontable , se garantiza que un juego separable tendrá al menos un equilibrio de Nash con estrategias mixtas de apoyo finito.
Ejemplos de
Juegos separables
Un juego de polinomios
Considere un juego de suma cero para 2 jugadores entre los jugadores X e Y , con. Denotar elementos de y como y respectivamente. Definir las funciones de utilidad dónde
- .
Las relaciones de mejor respuesta de la estrategia pura son:
y no se cruzan, por lo que hay
sin estrategia pura equilibrio de Nash. Sin embargo, debería haber un equilibrio de estrategia mixta. Para encontrarlo, exprese el valor esperado,como una combinación lineal del primer y segundo momento de las distribuciones de probabilidad de X e Y :
(dónde y de manera similar para Y ).
Las limitaciones en y (con restricciones similares para y ) son dadas por Hausdorff como:
Cada par de restricciones define un subconjunto convexo compacto en el plano. Desdees lineal, cualquier extremo con respecto a los dos primeros momentos de un jugador se ubicará en el límite de este subconjunto. La estrategia de equilibrio del jugador i se basará en
Tenga en cuenta que la primera ecuación solo permite mezclas de 0 y 1, mientras que la segunda ecuación solo permite estrategias puras. Además, si la mejor respuesta en un momento determinado para el jugador i reside en, estará en toda la línea, por lo que tanto 0 como 1 son la mejor respuesta. simplemente da la estrategia pura , entonces nunca dará 0 y 1. Sin embargo da tanto 0 como 1 cuando y = 1/2. Existe un equilibrio de Nash cuando:
Esto determina un equilibrio único en el que el jugador X juega una mezcla aleatoria de 0 la mitad del tiempo y 1 la otra mitad del tiempo. El jugador Y juega la estrategia pura de 1/2. El valor del juego es 1/4.
Juegos no separables
Una función de pago racional
Considere un juego de suma cero para 2 jugadores entre los jugadores X e Y , con. Denotar elementos de y como y respectivamente. Definir las funciones de utilidad dónde
Este juego no tiene un equilibrio de Nash de estrategia pura. Se puede demostrar [3] que existe un equilibrio de Nash de estrategia mixta único con el siguiente par de funciones de densidad de probabilidad :
El valor del juego es .
Requerir una distribución de Cantor
Considere un juego de suma cero para 2 jugadores entre los jugadores X e Y , con. Denotar elementos de y como y respectivamente. Definir las funciones de utilidad dónde
- .
Este juego tiene un equilibrio de estrategia mixta único en el que cada jugador juega una estrategia mixta con la función de cantor singular como función de distribución acumulativa . [4]
Otras lecturas
- HW Kuhn y AW Tucker, eds. (1950). Contribuciones a la teoría de los juegos: Vol. II. Anales de estudios matemáticos 28 . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 0-691-07935-8 .
Ver también
Referencias
- ^ IL Glicksberg. Una generalización adicional del teorema del punto fijo de Kakutani, con aplicación a los puntos de equilibrio de Nash. Proceedings of the American Mathematical Society, 3 (1): 170-174, febrero de 1952.
- ^ N. Stein, A. Ozdaglar y PA Parrilo. "Juegos continuos separables y de bajo rango". International Journal of Game Theory , 37 (4): 475–504, diciembre de 2008. https://arxiv.org/abs/0707.3462
- ^ Glicksberg, I. y Gross, O. (1950). "Notas sobre los juegos sobre la plaza". Kuhn, HW & Tucker, AW eds. Contribuciones a la teoría de los juegos: Volumen II. Annals of Mathematics Studies 28 , p.173–183. Prensa de la Universidad de Princeton.
- ^ Bruto, O. (1952). "Una caracterización racional de los pagos de la distribución de Cantor". Informe técnico D-1349, The RAND Corporation.