En el análisis funcional , a menudo es conveniente definir una transformación lineal en un espacio vectorial normalizado completo . definiendo primero una transformación lineal en un subconjunto denso de y luego extendiendo a todo el espacio a través del teorema siguiente. La extensión resultante permanece lineal y acotada (por lo tanto, continua ).
Este procedimiento se conoce como extensión lineal continua .
Teorema
Cada transformación lineal acotada desde un espacio vectorial normalizado a un espacio vectorial completo y normalizado se puede extender de forma única a una transformación lineal acotada desde la finalización de a . Además, la norma del operador de es si la norma de es .
Este teorema a veces se denomina teorema B L T, para transformación lineal acotada .
Solicitud
Considere, por ejemplo, la definición de la integral de Riemann . Una función escalonada en un intervalo cerrado es una función de la forma: dónde son números reales, , y denota la función indicadora del conjunto. El espacio de todas las funciones de paso en, normado por el norma (ver espacio Lp ), es un espacio vectorial normado que denotamos por. Defina la integral de una función escalonada mediante:. como función es una transformación lineal acotada de dentro . [1]
Dejar denotar el espacio de funciones continuas por partes , acotadas en que son continuos desde la derecha, junto con el norma. El espacio es denso en , entonces podemos aplicar el teorema BLT para extender la transformación lineal a una transformación lineal acotada de a . Esto define la integral de Riemann de todas las funciones en; para cada, .
El teorema de Hahn-Banach
El teorema anterior se puede utilizar para extender una transformación lineal acotada a una transformación lineal acotada de a , si es denso en . Si no es denso en , entonces el teorema de Hahn-Banach a veces puede usarse para demostrar que existe una extensión . Sin embargo, es posible que la extensión no sea única.
Referencias
- Reed, Michael; Barry Simon (1980). Métodos de física matemática moderna, vol. 1: Análisis funcional . San Diego: Prensa académica. ISBN 0-12-585050-6.
Notas al pie
- ^ Aquí, es también un espacio vectorial normalizado; es un espacio vectorial porque satisface todos los axiomas del espacio vectorial y está normalizado por la función de valor absoluto .