Controlabilidad en sistemas LTILos sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI) son aquellos sistemas en los que los parámetros , , y son invariantes con respecto al tiempo.
Se puede observar si el sistema LTI es o no controlable simplemente mirando el par . Entonces, podemos decir que las siguientes declaraciones son equivalentes:
1. La pareja es controlable.
2. El matriz
no es singular para ninguna .
3. El matriz de controlabilidad
tiene rango n.
4. El matriz
tiene rango de fila completo en cada valor propio de .
Si, además, todos los valores propios de tener partes reales negativases estable), y la solución única de la ecuación de Lyapunov
es positivo definido, el sistema es controlable. La solución se denomina Gramian de controlabilidad y se puede expresar como
En la siguiente sección vamos a echar un vistazo más de cerca al Gramian de controlabilidad.
Gramian de controlabilidadLa controlabilidad de Gramian se puede encontrar como la solución de la ecuación de Lyapunov dada por
De hecho, podemos ver que si tomamos
como solución, vamos a encontrar que:
Donde usamos el hecho de que a para estable (todos sus valores propios tienen parte real negativa). Esto nos muestra que es de hecho la solución para la ecuación de Lyapunov bajo análisis.
Propiedades
Podemos ver eso es una matriz simétrica, por lo tanto, también lo es .
Podemos utilizar de nuevo el hecho de que, si es estable (todos sus valores propios tienen una parte real negativa) para mostrar que es único. Para demostrarlo, suponga que tenemos dos soluciones diferentes para
y son dados por y . Entonces nosotros tenemos:
Multiplicar por por la izquierda y por por la derecha, nos llevaría a
Integrando desde a :
usando el hecho de que como :
En otras palabras, tiene que ser único.
Además, podemos ver que
es positivo para cualquier t (asumiendo el caso no degenerado donde no es idénticamente cero). Esto hace una matriz definida positiva.
Se pueden encontrar más propiedades de los sistemas controlables en, [1] así como la prueba de las otras declaraciones equivalentes de “The pair es controlable ”presentado en la sección Controlabilidad en sistemas LTI.
Sistemas de tiempo discretoPara sistemas de tiempo discreto como
Se puede comprobar que existen equivalencias para el enunciado "La pareja es controlable ”(las equivalencias son muy parecidas para el caso de tiempo continuo).
Nos interesa la equivalencia que afirma que, si “La pareja es controlable ”y todos los valores propios de tener una magnitud menor que ( es estable), entonces la solución única de
es positivo definido y dado por
Eso se llama el Gramiano de controlabilidad discreto. Podemos ver fácilmente la correspondencia entre el tiempo discreto y el caso del tiempo continuo, es decir, si podemos comprobar que es positivo definido, y todos los valores propios de tener una magnitud menor que , el sistema es controlable. Se pueden encontrar más propiedades y pruebas en. [2]
Sistemas de variantes de tiempo linealLos sistemas de variante de tiempo lineal (LTV) son aquellos en la forma:
Es decir, las matrices , y tienen entradas que varían con el tiempo. Nuevamente, al igual que en el caso de tiempo continuo y en el caso de tiempo discreto, uno puede estar interesado en descubrir si el sistema dado por el pares controlable o no. Esto se puede hacer de forma muy similar a los casos anteriores.
El sistema es controlable en el momento si y solo si existe un finito tal que el matriz, también llamada Gramiana de controlabilidad, dada por
dónde es la matriz de transición de estado de , no es singular.
Nuevamente, tenemos un método similar para determinar si un sistema es o no un sistema controlable.
Propiedades de
Tenemos que el Gramian de controlabilidad tener la siguiente propiedad:
que puede verse fácilmente por la definición de y por la propiedad de la matriz de transición estatal que afirma que:
Puede encontrar más información sobre el Gramian de controlabilidad en. [3]
Ver tambiénReferenciasenlaces externos