En la teoría de control , la ecuación de Lyapunov discreta tiene la forma
dónde es una matriz hermitiana yes la transposición conjugada de.
La ecuación continua de Lyapunov tiene la forma
- .
La ecuación de Lyapunov se produce en muchas ramas de la teoría de control, como el análisis de estabilidad y el control óptimo . Esta y otras ecuaciones relacionadas llevan el nombre del matemático ruso Aleksandr Lyapunov . [1] [2]
Aplicación a la estabilidad
En los siguientes teoremas , y y son simétricos. La notación significa que la matriz es positivo definido .
Teorema (versión de tiempo continuo). Dado cualquier, existe un único satisfactorio si y solo si el sistema lineal es globalmente asintóticamente estable. La función cuadráticaes una función de Lyapunov que se puede utilizar para verificar la estabilidad.
Teorema (versión de tiempo discreto). Dado cualquier, existe un único satisfactorio si y solo si el sistema lineal es globalmente asintóticamente estable. Como antes, es una función de Lyapunov.
Aspectos computacionales de la solución
Hay software especializado disponible para resolver ecuaciones de Lyapunov. Para el caso discreto, a menudo se utiliza el método Schur de Kitagawa. [3] Para la ecuación continua de Lyapunov se puede utilizar el método de Bartels y Stewart. [4]
Solución analítica
Definición del operador de vectorización como apilar las columnas de una matriz y como el producto Kronecker de y , las ecuaciones de Lyapunov en tiempo continuo y tiempo discreto se pueden expresar como soluciones de una ecuación matricial. Además, si la matriz es estable, la solución también se puede expresar como una integral (caso de tiempo continuo) o como una suma infinita (caso de tiempo discreto).
Tiempo discreto
Usando el resultado que , uno tiene
dónde es una matriz de identidad conformable . [5] Uno puede entonces resolverinvirtiendo o resolviendo las ecuaciones lineales. Llegar, hay que remodelar adecuadamente.
Además, si es estable, la solución también se puede escribir como
- .
Para comparar, considere el caso unidimensional, donde esto solo dice que la solución de es .
Tiempo continuo
Usando nuevamente la notación del producto de Kronecker y el operador de vectorización, se tiene la ecuación matricial
dónde denota la matriz obtenida mediante la conjugación compleja de las entradas de .
Similar al caso de tiempo discreto, si es estable, la solución también se puede escribir como
- .
Para comparar, considere el caso unidimensional, donde esto solo dice que la solución de es .
Relación entre ecuaciones de Lyapunov discretas y continuas
Comenzamos con la dinámica lineal de tiempo continuo:
- .
Y luego discretícelo de la siguiente manera:
Dónde indica un pequeño desplazamiento hacia adelante en el tiempo. Sustituyendo la ecuación inferior en la superior y barajando los términos, obtenemos una ecuación de tiempo discreto para.
Donde hemos definido . Ahora podemos usar la ecuación de Lyapunov en tiempo discreto para:
Conectando nuestra definición de , obtenemos:
Al expandir esta expresión, se obtiene:
Recordar que es un pequeño desplazamiento en el tiempo. Dejandoir a cero nos acerca cada vez más a tener dinámicas continuas, y en el límite las alcanzamos. Es lógico que también debamos recuperar las ecuaciones de Lyapunov de tiempo continuo en el límite. Dividiendo por en ambos lados, y luego dejar encontramos eso:
que es la ecuación de Lyapunov en tiempo continuo, según se desee.
Ver también
Referencias
- ↑ Parks, PC (1 de enero de 1992). "Teoría de la estabilidad de AM Lyapunov: 100 años después *" . Revista IMA de Información y Control Matemático . 9 (4): 275-303. doi : 10.1093 / imamci / 9.4.275 . ISSN 0265-0754 .
- ^ Simoncini, V. (1 de enero de 2016). "Métodos computacionales para ecuaciones matriciales lineales" . Revisión SIAM . 58 (3): 377–441. doi : 10.1137 / 130912839 . ISSN 0036-1445 .
- ^ Kitagawa, G. (1977). "Un algoritmo para resolver la ecuación matricial X = FXF '+ S". Revista Internacional de Control . 25 (5): 745–753. doi : 10.1080 / 00207177708922266 .
- ^ Bartels, RH; Stewart, GW (1972). "Algoritmo 432: Solución de la ecuación matricial AX + XB = C". Comm. ACM . 15 (9): 820–826. doi : 10.1145 / 361573.361582 .
- ^ Hamilton, J. (1994). Análisis de series de tiempo . Prensa de la Universidad de Princeton. Ecuaciones 10.2.13 y 10.2.18. ISBN 0-691-04289-6.