Filtros en topología

Los filtros en topología , un subcampo de las matemáticas , se pueden usar para estudiar espacios topológicos y definir todas las nociones topológicas básicas, como convergencia, continuidad , compacidad y más. Los filtros , que son familias especiales de subconjuntos de un conjunto dado, también proporcionan un marco común para definir varios tipos de límites de funciones , como límites de izquierda/derecha, hasta el infinito, hasta un punto o un conjunto, y muchos otros. Los tipos especiales de filtros llamados ultrafiltros tienen muchas propiedades técnicas útiles y, a menudo, se pueden usar en lugar de filtros arbitrarios.

Los filtros tienen generalizaciones denominadas prefiltros (también conocidos como bases de filtro ) y subbases de filtro , todas las cuales aparecen de forma natural y repetida en toda la topología. Los ejemplos incluyen filtros / bases/subbases vecinales y uniformidades . Cada filtro es un prefiltro y ambos son subbases de filtro. Cada prefiltro y subbase de filtro está contenido en un único filtro más pequeño, que se dice que generan . Esto establece una relación entre los filtros y los prefiltros que a menudo se puede aprovechar para permitir el uso de cualquiera de estas dos nociones que sea técnicamente más conveniente. Existe un cierto orden previo en las familias de conjuntos, denotado por${\ estilo de visualización \, \ leq, \,}$eso ayuda a determinar exactamente cuándo y cómo una noción (filtro, prefiltro, etc.) puede o no usarse en lugar de otra. La importancia de este orden previo se amplifica por el hecho de que también define la noción de convergencia de filtros, donde por definición, un filtro (o prefiltro) converge a un punto si y solo si donde está el filtro de vecindad de ese punto . En consecuencia, la subordinación también juega un papel importante en muchos conceptos relacionados con la convergencia, como los puntos de conglomerados y los límites de funciones. Además, la relación que denota y se expresa diciendo que está subordinado a también establece una relación en la que está a${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}\leq {\mathcal {B}},}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}\geq {\mathcal {B}},}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$como una subsecuencia es a una secuencia (es decir, la relación que se llama subordinación , es para filtros el análogo de "es una subsecuencia de"). ${\ estilo de visualización \ geq,}$

El enrejado del conjunto de potencia del conjunto con el conjunto superior de color verde oscuro. Es un filtro , e incluso un filtro principal . No es un ultrafiltro , ya que puede extenderse al filtro no trivial más grande al incluir también los elementos de color verde claro. Porque no se puede extender más, es un ultrafiltro.${\ estilo de visualización X: = \ {1,2,3,4\},}$ ${\displaystyle \{1,4\}^{\flecha arriba X}}$${\ estilo de visualización \ {1 \} ^ {\ flecha arriba X}}$${\ estilo de visualización \ {1 \} ^ {\ flecha arriba X}}$