En topología y áreas relacionadas de las matemáticas , el sistema de vecindad , sistema completo de vecindad , [1] o filtro de vecindad para un punto x es la colección de todas las vecindades del punto x .
Definiciones
Un entorno abierto de un subconjunto S de X es cualquier abierto conjunto V de tal manera que S ⊆ V . Una vecindad de S en X es cualquier subconjunto T ⊆ X tal que T contiene algunos entorno abierto de S . Explícitamente, significa esto que T ⊆ X es un barrio de S en X si y sólo si hay algún conjunto abierto V tal que S ⊆ V ⊆ T . El sistema de barrio para cualquier conjunto no vacío S es un filtro llamado el filtro de barrio para S . El filtro de vecindad para un punto x ∈ X es el mismo que el filtro de vecindad del conjunto singleton { x }.
Un "barrio" no tiene por qué ser un escenario abierto; esos barrios que también son conjuntos abiertos se conocen como "barrios abiertos". Del mismo modo, aquellos barrios que también resultan ser conjuntos cerrados se conocen como barrios cerrados . Hay muchos otros tipos de vecindarios que se utilizan en Topología y campos relacionados como el análisis funcional . La familia de todos los vecindarios que tienen cierta propiedad "útil" a menudo forma una base de vecindario, aunque muchas veces, estos vecindarios no son necesariamente abiertos.
Base
A base barrio o base locales (o base de barrio o base local ) para un punto x es una base del filtro del filtro de vecindad; esto significa que es un subconjunto
tal que para todos , existe algo tal que Es decir, para cualquier barrio podemos encontrar un vecindario en la base de vecindario que está contenida en .
Equivalentemente, es una base local en x si y solo si el filtro de vecindad se puede recuperar de en el sentido de que se cumple la siguiente igualdad:
- . [2]
Subbasis
Una subbase de vecindad en x es una familia 𝒮 de subconjuntos de X , cada uno de los cuales contiene x , de modo que la colección de todas las posibles intersecciones finitas de elementos de 𝒮 forma una base de vecindad en x .
Ejemplos de
- En cualquier espacio topológico, el sistema de vecindad para un punto es también una base de vecindad para el punto.
- El conjunto de todos los vecindarios abiertos en un punto forma una base de vecindario en ese punto.
- Dado un espacio X con la topología indiscreta, el sistema de vecindad para cualquier punto x solo contiene todo el espacio,
- En un espacio métrico , para cualquier punto x , la secuencia de bolas abiertas alrededor de x con radio 1 / n forman una base de vecindad contable. Esto significa que cada espacio métrico es contable primero .
- En la topología débil en el espacio de medidas en un espacio E , una base de vecindad sobre es dado por
- dónde son funciones acotadas continuas desde E hasta los números reales.
Propiedades
En un espacio seminormado , es decir, un espacio vectorial con la topología inducida por una seminorma , todos los sistemas de vecindad se pueden construir mediante la traducción del sistema de vecindad para el origen,
Esto se debe a que, por supuesto, la suma de vectores es continua por separado en la topología inducida. Por lo tanto, la topología está determinada por su sistema de vecindad en el origen. De manera más general, esto sigue siendo cierto siempre que el espacio sea un grupo topológico o la topología esté definida por una pseudometría .
Ver también
Referencias
- ^ Mendelson, Bert (1990) [1975]. Introducción a la topología (Tercera ed.). Dover. pag. 41. ISBN 0-486-66352-3.
- ^ Willard, Stephen (1970). Topología general . Addison-Wesley Publishing. (Consulte el Capítulo 2, Sección 4)