Combinación convexa

En geometría convexa , una combinación convexa es una combinación lineal de puntos (que pueden ser vectores , escalares o, más generalmente, puntos en un espacio afín ) donde todos los coeficientes son no negativos y suman 1. ^[1]

Más formalmente, dado un número finito de puntos en un espacio vectorial real , una combinación convexa de estos puntos es un punto de la forma${\ Displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}}$

donde los números reales satisfacen y ^[1]${\ Displaystyle \ alpha _ {i}}$${\ Displaystyle \ alpha _ {i} \ geq 0}$${\ Displaystyle \ alpha _ {1} + \ alpha _ {2} + \ cdots + \ alpha _ {n} = 1.}$

Como ejemplo particular, cada combinación convexa de dos puntos se encuentra en el segmento de línea entre los puntos. ^[1]

Un conjunto es convexo si contiene todas las combinaciones convexas de sus puntos. El casco convexo de un conjunto dado de puntos es idéntico al conjunto de todas sus combinaciones convexas. ^[1]

Existen subconjuntos de un espacio vectorial que no están cerrados bajo combinaciones lineales pero están cerrados bajo combinaciones convexas. Por ejemplo, el intervalo es convexo pero genera la recta numérica real bajo combinaciones lineales. Otro ejemplo es el conjunto convexo de distribuciones de probabilidad , ya que las combinaciones lineales no conservan ni la no negatividad ni la afinidad (es decir, que tienen una integral total).${\displaystyle [0,1]}$

Dados tres puntos en un plano como se muestra en la figura, el punto es una combinación convexa de los tres puntos, mientras que no lo es .${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

( Sin embargo, es una combinación afín de los tres puntos, ya que su casco afín es el plano completo).${\displaystyle Q}$