La convolución de las distribuciones de probabilidad surge en la teoría de la probabilidad y la estadística como la operación en términos de distribuciones de probabilidad que corresponde a la suma de variables aleatorias independientes y, por extensión, a formar combinaciones lineales de variables aleatorias. La operación aquí es un caso especial de convolución en el contexto de distribuciones de probabilidad.
Introducción
La distribución de probabilidad de la suma de dos o más variables aleatorias independientes es la convolución de sus distribuciones individuales. El término está motivado por el hecho de que la función de masa de probabilidad o la función de densidad de probabilidad de una suma de variables aleatorias es la convolución de sus correspondientes funciones de masa de probabilidad o funciones de densidad de probabilidad, respectivamente. Muchas distribuciones conocidas tienen convoluciones simples: consulte la Lista de convoluciones de distribuciones de probabilidad
La fórmula general para la distribución de la suma. de dos variables aleatorias independientes de valor entero (y por lo tanto discretas) es [1]
La contraparte de las variables aleatorias independientes distribuidas continuamente con funciones de densidad es
Si partimos de las variables aleatorias X e Y, relacionadas por Z = X + Y, y sin saber que estas variables aleatorias son independientes, entonces:
Sin embargo, si X e Y son independientes, entonces:
y esta fórmula se convierte en la convolución de distribuciones de probabilidad:
Derivación de ejemplo
Hay varias formas de derivar fórmulas para la convolución de distribuciones de probabilidad. A menudo, la manipulación de integrales se puede evitar mediante el uso de algún tipo de función generadora . Dichos métodos también pueden ser útiles para derivar propiedades de la distribución resultante, como momentos, incluso si no se puede derivar una fórmula explícita para la distribución en sí.
Una de las técnicas sencillas es utilizar funciones características , que siempre existen y son exclusivas de una distribución determinada. [ cita requerida ]
Convolución de las distribuciones de Bernoulli
La convolución de dos variables aleatorias de Bernoulli independientes distribuidas de forma idéntica es una variable aleatoria binomial. Es decir, en una notación abreviada,
Para mostrar esto deja
y definir
Además, deje que Z denote una variable aleatoria binomial genérica:
Usar funciones de masa de probabilidad
Como son independientes,
Aquí, usamos el hecho de que para k > n en la última pero tres igualdad, y de la regla de Pascal en la penúltima igualdad.
Usando funciones características
La función característica de cada y de es
donde t está dentro de una vecindad de cero.
La expectativa del producto es el producto de las expectativas ya que cadaes independiente. Desde y tienen la misma función característica, deben tener la misma distribución.
Ver también
Referencias
- ^ Susan Holmes (1998). Sumas de variables aleatorias: Estadística 116. Stanford. http://statweb.stanford.edu/~susan/courses/s116/node114.html
- Hogg, Robert V .; McKean, Joseph W .; Craig, Allen T. (2004). Introducción a la estadística matemática (6ª ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall. pag. 692. ISBN 978-0-13-008507-8. Señor 0467974 .