En matemáticas , el teorema de la corona es un resultado sobre el espectro de las funciones holomórficas limitadas en el disco unitario abierto , conjeturado por Kakutani (1941) y probado por Lennart Carleson ( 1962 ).
El conmutativa álgebra de Banach y espacio Hardy H ∞ consta de los acotadas funciones holomorfas en el disco unidad abierta D . Su espectro S (los ideales máximos cerrados ) contiene D como un subespacio abierto porque para cada z en D hay un ideal máximo que consta de funciones f con
- f ( z ) = 0.
El subespacio D no puede formar todo el espectro S , esencialmente porque el espectro es un espacio compacto y D no lo es. El complemento del cierre de D en S fue llamado corona por Newman (1959) , y el teorema de la corona establece que la corona está vacía, o en otras palabras, el disco de unidad abierto D es denso en el espectro. Una formulación más elemental es que los elementos f 1 , ..., f n generan la unidad ideal de H ∞ si y solo si hay algún δ> 0 tal que
- en todas partes de la bola de la unidad.
Newman demostró que el teorema de la corona se puede reducir a un problema de interpolación, que luego fue probado por Carleson.
En 1979, Thomas Wolff dio una prueba simplificada (pero no publicada) del teorema de la corona, descrita en ( Koosis 1980 ) y ( Gamelin 1980 ).
Cole demostró más tarde que este resultado no puede extenderse a todas las superficies abiertas de Riemann ( Gamelin 1978 ).
Como subproducto del trabajo de Carleson, se inventó la medida de Carleson, que en sí misma es una herramienta muy útil en la teoría de funciones moderna. Sigue siendo una pregunta abierta si existen versiones del teorema de la corona para cada dominio plano o para dominios de dimensiones superiores.
Tenga en cuenta que si se asume la continuidad hasta el límite en el teorema de Corona, entonces la conclusión se sigue fácilmente de la teoría del álgebra conmutativa de Banach ( Rudin 1991 ).
Ver también
Referencias
- Carleson, Lennart (1962), "Interpolaciones por funciones analíticas acotadas y el problema de la corona", Annals of Mathematics , 76 (3): 547–559, doi : 10.2307 / 1970375 , JSTOR 1970375 , MR 0141789 , Zbl 0112.29702
- Gamelin, TW (1978), Álgebras uniformes y medidas de Jensen. , London Mathematical Society Lecture Note Series, 32 , Cambridge-Nueva York: Cambridge University Press , págs. Iii + 162, ISBN 978-0-521-22280-8, MR 0521440 , Zbl 0.418,46042
- Gamelin, TW (1980), "Prueba de Wolff del teorema de la corona", Israel Journal of Mathematics , 37 (1-2): 113-119, doi : 10.1007 / BF02762872 , MR 0599306 , Zbl 0466.46050
- Kakutani, Shizuo (1941). "Representación concreta de espacios (M) abstractos. (Una caracterización del espacio de funciones continuas)". Ana. de Matemáticas . Serie 2. 42 (4): 994–1024. doi : 10.2307 / 1968778 . hdl : 10338.dmlcz / 100940 . JSTOR 1968778 . Señor 0005778 .
- Koosis, Paul (1980), Introducción a los espacios H p . Con un apéndice sobre la prueba de Wolff del teorema de la corona , London Mathematical Society Lecture Note Series, 40 , Cambridge-New York: Cambridge University Press , págs. Xv + 376, ISBN 0-521-23159-0, MR 0565451 , Zbl 0.435,30001
- Newman, DJ (1959), "Algunas observaciones sobre la estructura ideal máxima de H ∞ ", Annals of Mathematics , 70 (2): 438–445, doi : 10.2307 / 1970324 , JSTOR 1970324 , MR 0106290 , Zbl 0092.11802
- Rudin, Walter (1991), Análisis funcional , pág. 279.
- Schark, IJ (1961), " Ideales máximos en un álgebra de funciones analíticas acotadas" , Journal of Mathematics and Mechanics , 10 : 735–746, MR 0125442 , Zbl 0139.30402.