En la teoría del caos , la dimensión de correlación (denotada por ν ) es una medida de la dimensionalidad del espacio ocupado por un conjunto de puntos aleatorios, a menudo denominada un tipo de dimensión fractal . [1] [2] [3]
Por ejemplo, si tenemos un conjunto de puntos aleatorios en la recta numérica real entre 0 y 1, la dimensión de correlación será ν = 1, mientras que si están distribuidos en, digamos, un triángulo incrustado en un espacio tridimensional ( om - espacio dimensional), la dimensión de correlación será ν = 2. Esto es lo que intuitivamente esperaríamos de una medida de dimensión. La utilidad real de la dimensión de correlación es determinar las dimensiones (posiblemente fraccionarias) de los objetos fractales. Existen otros métodos para medir la dimensión (por ejemplo, la dimensión de Hausdorff , la dimensión de recuento de cajas y la dimensión de información) pero la dimensión de correlación tiene la ventaja de que se calcula de forma sencilla y rápida, de ser menos ruidosa cuando solo se dispone de un pequeño número de puntos y, a menudo, coincide con otros cálculos de dimensión.
Para cualquier conjunto de N puntos en un espacio m -dimensional
entonces la integral de correlación C ( ε ) se calcula mediante:
donde g es el número total de pares de puntos que tienen una distancia entre ellos menor que la distancia ε (una representación gráfica de esos pares cercanos es la gráfica de recurrencia ). Como el número de puntos tiende a infinito y la distancia entre ellos tiende a cero, la integral de correlación, para valores pequeños de ε , tomará la forma:
Si el número de puntos es suficientemente grande y está distribuido uniformemente, un gráfico logarítmico de la integral de correlación frente a ε producirá una estimación de ν . Esta idea puede entenderse cualitativamente al darse cuenta de que para los objetos de dimensiones superiores, habrá más formas de que los puntos estén cerca unos de otros, por lo que el número de pares cercanos entre sí aumentará más rápidamente para las dimensiones superiores.
Grassberger y Procaccia introdujeron la técnica en 1983; [1] el artículo da los resultados de tales estimaciones para una serie de objetos fractales, además de comparar los valores con otras medidas de dimensión fractal. La técnica se puede utilizar para distinguir entre el comportamiento caótico (determinista) y el comportamiento verdaderamente aleatorio, aunque puede que no sea buena para detectar el comportamiento determinista si el mecanismo de generación determinista es muy complejo. [4]
Como ejemplo, en el artículo "Sun in Time", [5] el método se utilizó para mostrar que la cantidad de manchas solares en el sol , después de tomar en cuenta los ciclos conocidos, como los ciclos diarios y de 11 años, es muy probable. no ruido aleatorio, sino ruido caótico, con un atractor fractal de baja dimensión.
Ver también
Notas
- ↑ a b Peter Grassberger e Itamar Procaccia (1983). "Midiendo la extrañeza de los atractores extraños". Physica D: Fenómenos no lineales . 9 (1‒2): 189‒208. Código Bibliográfico : 1983PhyD .... 9..189G . doi : 10.1016 / 0167-2789 (83) 90298-1 .
- ^ Peter Grassberger e Itamar Procaccia (1983). "Caracterización de atractores extraños". Cartas de revisión física . 50 (5): 346-349. Código Bibliográfico : 1983PhRvL..50..346G . doi : 10.1103 / PhysRevLett.50.346 .
- ^ Peter Grassberger (1983). "Dimensiones generalizadas de atractores extraños". Physics Letters A . 97 (6): 227-230. Código bibliográfico : 1983PhLA ... 97..227G . doi : 10.1016 / 0375-9601 (83) 90753-3 .
- ^ DeCoster, Gregory P .; Mitchell, Douglas W. (1991). "La eficacia de la técnica de la dimensión de correlación en la detección del determinismo en muestras pequeñas". Revista de Computación y Simulación Estadística . 39 (4): 221-229. doi : 10.1080 / 00949659108811357 .
- ^ Sonett, C., Giampapa, M. y Matthews, M. (Eds.) (1992). El sol en el tiempo . Prensa de la Universidad de Arizona . ISBN 0-8165-1297-3.CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace ) CS1 maint: texto adicional: lista de autores ( enlace )