En el estudio de sistemas dinámicos , un teorema de incorporación de retardo proporciona las condiciones bajo las cuales un sistema dinámico caótico puede reconstruirse a partir de una secuencia de observaciones del estado de un sistema dinámico. La reconstrucción conserva las propiedades del sistema dinámico que no cambian con cambios suaves de coordenadas (es decir, difeomorfismos ), pero no conserva la forma geométrica de las estructuras en el espacio de fase.
El teorema de Takens es el teorema de incorporación de retardo de 1981 de Floris Takens . Proporciona las condiciones bajo las cuales se puede reconstruir un atractor suave a partir de las observaciones realizadas con una función genérica . Los resultados posteriores reemplazaron el atractor suave con un conjunto de dimensiones de recuento de cajas arbitrarias y la clase de funciones genéricas con otras clases de funciones.
Los teoremas de incorporación de retardo son más simples de enunciar para sistemas dinámicos de tiempo discreto . El espacio de estados del sistema dinámico es un-dimensional colector . La dinámica viene dada por un mapa suave.
Suponga que la dinámica tiene un atractor extraño con dimensión de recuento de cajas . Usando ideas del teorema de incrustación de Whitney , se puede incrustar en -espacio euclidiano dimensional con
Es decir, hay un difeomorfismo que mapas dentro tal que la derivada detiene rango completo .
Un teorema de incrustación de retardo utiliza una función de observación para construir la función de incrustación. Una función de observación debe ser dos veces diferenciable y asociar un número real a cualquier punto del atractor . También debe ser típico , por lo que su derivada es de rango completo y no tiene simetrías especiales en sus componentes. El teorema de la inclusión de retardo establece que la función
es una incrustación del atractor extraño .
Versión simplificada, ligeramente inexacta
Supongamos que -vector de estado dimensional evoluciona de acuerdo con una dinámica desconocida pero continua y (crucialmente) determinista. Supongamos también que el observable unidimensional es una función suave de y "acoplado" a todos los componentes de . Ahora, en cualquier momento, podemos mirar no solo la medición actual, sino también en observaciones hechas a veces eliminadas de nosotros por múltiplos de algún retraso , etc. Si usamos retrasos, tenemos un -vector dimensional. Uno podría esperar que, a medida que aumenta el número de retrasos, el movimiento en el espacio retrasado se volverá cada vez más predecible, y quizás en el límite.se volvería determinista. De hecho, la dinámica de los vectores rezagados se vuelve determinista en una dimensión finita; no solo eso, sino que las dinámicas deterministas son completamente equivalentes a las del espacio de estado original (más exactamente, están relacionadas por un cambio de coordenadas suave e invertible, o difeomorfismo). es como máximo y, a menudo, menos. [1]
Ver también
Referencias
- ^ Shalizi, Cosma R. (2006). "Métodos y técnicas de la ciencia de sistemas complejos: una visión general". En Deisboeck, ThomasS; Kresh, J.Yasha (eds.). Ciencia de Sistemas Complejos en Biomedicina . Temas de la serie internacional de libros de ingeniería biomédica. Springer EE. UU. pp. 33 -114. doi : 10.1007 / 978-0-387-33532-2_2 . ISBN 978-0-387-30241-6.
Otras lecturas
- N. Packard , J. Crutchfield , D. Farmer y R. Shaw (1980). "Geometría de una serie temporal". Cartas de revisión física . 45 (9): 712–716. Código Bibliográfico : 1980PhRvL..45..712P . doi : 10.1103 / PhysRevLett.45.712 .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- F. Takens (1981). "Detección de atractores extraños en turbulencias". En DA Rand y L.-S. Young (ed.). Sistemas dinámicos y turbulencia, Lecture Notes in Mathematics, vol. 898 . Springer-Verlag. págs. 366–381.
- R. Mañé (1981). "Sobre la dimensión de los conjuntos invariantes compactos de ciertos mapas no lineales". En DA Rand y L.-S. Young (ed.). Sistemas dinámicos y turbulencia, Lecture Notes in Mathematics, vol. 898 . Springer-Verlag. págs. 230–242.
- G. Sugihara y RM May (1990). "Pronóstico no lineal como una forma de distinguir el caos del error de medición en series de tiempo". Naturaleza . 344 (6268): 734–741. Código Bibliográfico : 1990Natur.344..734S . doi : 10.1038 / 344734a0 . PMID 2330029 .
- Tim Sauer , James A. Yorke y Martin Casdagli (1991). "Embedología". Revista de física estadística . 65 (3–4): 579–616. Código Bibliográfico : 1991JSP .... 65..579S . doi : 10.1007 / BF01053745 .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- G. Sugihara (1994). "Predicción no lineal para la clasificación de series de tiempo naturales". Phil. Trans. R. Soc. Lond. Una . 348 (1688): 477–495. Código bibliográfico : 1994RSPTA.348..477S . doi : 10.1098 / rsta.1994.0106 .
- PA Dixon , MJ Milicich y G. Sugihara (1999). "Fluctuaciones episódicas en el suministro de larvas". Ciencia . 283 (5407): 1528-1530. Código Bibliográfico : 1999Sci ... 283.1528D . doi : 10.1126 / science.283.5407.1528 . PMID 10066174 .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- G. Sugihara , M. Casdagli , E. Habjan , D. Hess , P. Dixon y G. Holland (1999). "Los mapas de retardo residual revelan patrones globales de no linealidad atmosférica y producen pronósticos locales mejorados" . PNAS . 96 (25): 210–215. Código Bibliográfico : 1999PNAS ... 9614210S . doi : 10.1073 / pnas.96.25.14210 . PMC 24416 . PMID 10588685 .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
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- RA Rios , L. Parrott , H. Lange y RF de Mello (2015). "Estimación de tasas de determinismo para detectar patrones en conjuntos de datos geoespaciales". Teledetección del medio ambiente . 156 : 11-20. Código Bibliográfico : 2015RSEnv.156 ... 11R . doi : 10.1016 / j.rse.2014.09.019 .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
enlaces externos
- Reconstrucción de atractores (scholarpedia)
- [1] El producto ChaosKit de Scientio utiliza la incrustación para crear análisis y predicciones. El acceso se proporciona en línea a través de un servicio web y una interfaz gráfica.