En el análisis real , una rama de las matemáticas, el teorema de Cousin establece que:
- Si para cada punto de una región cerrada (en términos modernos, " cerrado y acotado ") hay un círculo de radio finito (en término moderno, una " vecindad "), entonces la región se puede dividir en un número finito de subregiones tales que cada subregión es interior a un círculo de un conjunto dado que tiene su centro en la subregión. [1]
Este resultado fue probado originalmente por Pierre Cousin, un estudiante de Henri Poincaré , en 1895, y amplía el teorema original de Heine-Borel sobre la compacidad para cubiertas arbitrarias de subconjuntos compactos de. Sin embargo, Pierre Cousin no recibió ningún crédito. El teorema de Cousin se atribuyó generalmente a Henri Lebesgue como el teorema de Borel-Lebesgue . Lebesgue tuvo conocimiento de este resultado en 1898 y lo demostró en su disertación de 1903. [1]
En términos modernos, se dice como:
- Dejar ser una cobertura completa de [ a , b ], es decir, una colección de subintervalos cerrados de [ a , b ] con la propiedad de que para cada x ∈ [ a , b ], existe un δ > 0 de modo que contiene todos los subintervalos de [ a , b ] que contiene x y una longitud menor que δ . Entonces existe una partición { I 1 , I 2 , ..., I n } de intervalos no superpuestos para [ a , b ], donde I i = [ x i-1 , x i ] ∈ y a = x 0
1 <... n = b para todo 1≤i≤n .
El lema de Cousin se estudia en Matemáticas inversas, donde es uno de los primeros teoremas de tercer orden que es difícil de probar en términos de los axiomas de comprensión necesarios.
En la integración de Henstock-Kurzweil
El teorema de Cousin es fundamental en el estudio de la integración de Henstock-Kurzweil y, en este contexto, se lo conoce como lema de Cousin o teorema de la fineza .
Un calibre en es una función de valor real estrictamente positiva , mientras que una partición etiquetada dees una secuencia finita [2] [3]
Dado un indicador y una partición etiquetada de , decimos es -bueno si para todos, tenemos , dónde denota la bola abierta de radio centrado en . El lema de Cousin ahora se expresa como:
- Si , luego cada calibre tiene un -partición fina . [4]
Notas
- ↑ a b Hildebrandt, 1925, pág. 29
- ↑ Gordon, Russell (1 de agosto de 1994). Las integrales de Lebesgue, Denjoy, Perron y Henstock . Estudios de Posgrado en Matemáticas. 4 . Providence, Rhode Island: Sociedad Matemática Estadounidense. doi : 10.1090 / gsm / 004 . ISBN 978-0-8218-3805-1.
- ^ Kurtz, Douglas S; Swartz, Charles W (octubre de 2011). "Teorías de la integración" . Serie en Análisis Real . 13 . doi : 10.1142 / 8291 . ISBN 978-981-4368-99-5. ISSN 1793-1134 .
- ^ Bartle, 2001, p. 11
Referencias
- Hildebrandt, TH (1925). El teorema de Borel y sus generalizaciones en JC Abbott (Ed.), The Chauvenet Papers: una colección de trabajos expositivos ganadores de premios en matemáticas. Asociación Matemática de América.
- Raman, MJ (1997). Comprensión de la compacidad: una perspectiva histórica , tesis de maestría en artes. Universidad de California, Berkeley. arXiv : 1006.4131 .
- Bartle, RG (2001). A Modern Theory of Integration , Graduate Studies in Mathematics 32 , American Mathematical Society.