conjunto de clubes

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En matemáticas , particularmente en lógica matemática y teoría de conjuntos , un conjunto club es un subconjunto de un ordinal límite que está cerrado bajo la topología de orden y no está acotado (ver más abajo) en relación con el ordinal límite. El nombre club es una contracción de "cerrado e ilimitado".

Formalmente, si es un ordinal límite, entonces un conjunto es cerrado si y sólo si para cada , si , entonces . Por lo tanto, si el límite de alguna secuencia de es menor que , entonces el límite también está en .${\ estilo de visualización \ kappa}$${\displaystyle C\subseteq \kappa }$${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \alpha <\kappa }$${\displaystyle \sup(C\cap \alpha )=\alpha \neq 0}$${\displaystyle \alpha \in C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle C}$

Si es un ordinal límite y entonces no está acotado en si para alguno , hay alguno tal que .${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle C\subseteq \kappa }$${\displaystyle C}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \alpha <\kappa }$${\displaystyle \beta \in C}$${\displaystyle \alpha <\beta }$

Si un conjunto es tanto cerrado como ilimitado, entonces es un conjunto club . Las clases propias cerradas también son de interés (cada clase propia de ordinales es ilimitada en la clase de todos los ordinales).

Por ejemplo, el conjunto de todos los ordinales límite contables es un conjunto de tréboles con respecto al primer ordinal incontable ; pero no es un club establecido con respecto a ningún ordinal de límite superior, ya que no es cerrado ni ilimitado. Si es un ordinal inicial incontable , entonces el conjunto de todos los ordinales límite es cerrado ilimitado en . De hecho, un club set no es más que el rango de una función normal (es decir, creciente y continua).${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \alpha <\kappa }$${\displaystyle \kappa }$

Más generalmente, si es un conjunto no vacío y es cardinal , entonces (el conjunto de subconjuntos de cardinalidad ) es club si cada unión de un subconjunto de está en y cada subconjunto de cardinalidad menor que está contenido en algún elemento de (ver conjunto estacionario ).${\displaystyle X}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle C\subseteq [X]^{\lambda }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle C}$

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