En análisis real, el teorema de Heine-Borel , llamado así por Eduard Heine y Émile Borel , establece:
Para un subconjunto S del espacio euclidiano R n , las siguientes dos declaraciones son equivalentes:
Historia y motivación
La historia de lo que hoy se llama el teorema de Heine-Borel comienza en el siglo XIX, con la búsqueda de fundamentos sólidos del análisis real. El concepto central de la teoría era el concepto de continuidad uniforme y el teorema que establece que toda función continua en un intervalo cerrado es uniformemente continua. Peter Gustav Lejeune Dirichlet fue el primero en probar esto e implícitamente usó la existencia de una subcubierta finita de una cubierta abierta dada de un intervalo cerrado en su demostración. [1] Usó esta prueba en sus conferencias de 1852, que se publicaron solo en 1904. [1] Más tarde, Eduard Heine , Karl Weierstrass y Salvatore Pincherle usaron técnicas similares. Émile Borel en 1895 fue el primero en enunciar y probar una forma de lo que ahora se llama el teorema de Heine-Borel. Su formulación se restringió a portadas contables . Pierre Cousin (1895), Lebesgue (1898) y Schoenflies (1900) lo generalizaron a portadas arbitrarias. [2]
Prueba
Si un conjunto es compacto, entonces debe estar cerrado.
Sea S un subconjunto de R n . Observe primero la siguiente: si una es un punto límite de S , entonces cualquier finito colección C de conjuntos abiertos, de manera que cada conjunto abierto U ∈ C es disjunta de algunos vecindad V U de una , deja de ser una cubierta de S . De hecho, la intersección de la familia finita de conjuntos V U es una vecindad W de a en R n . Desde un es un punto de límite S , W debe contener un punto x en S . Este x ∈ S no está cubierto por la familia C , porque cada U en C es disjunto de V U y por lo tanto disjunto de W , que contiene x .
Si S es compacto, pero no está cerrada, entonces se tiene un punto límite de un no en S . Considere una colección C ′ que consta de una vecindad abierta N ( x ) para cada x ∈ S , elegida lo suficientemente pequeña como para no intersecar alguna vecindad V x de a . Entonces C ' es una cubierta abierta de S , pero cualquier subcolección finita de C ' tiene la forma de C se discutió previamente, y por lo tanto no puede ser un subcover abierto de S . Esto contradice la compacidad de S . Por tanto, todo punto límite de S está en S , por lo que S está cerrado.
La prueba anterior se aplica con casi ningún cambio de mostrar que cualquier subconjunto compacto S de un Hausdorff espacio topológico X es cerrado en X .
Si un conjunto es compacto, entonces está acotado.
Dejar ser un conjunto compacto en , y una bola de radio 1 centrada en . Entonces el conjunto de todas esas bolas se centró en es claramente una tapa abierta de , desde contiene todo . Desdees compacto, tome una subcubierta finita de esta cubierta. Esta subcubierta es la unión finita de bolas de radio 1. Considere todos los pares de centros de estas (un número finito) bolas (de radio 1) y seasea el máximo de las distancias entre ellos. Entonces sí y son los centros (respectivamente) de bolas unitarias que contienen arbitrarias , la desigualdad del triángulo dice:
Entonces el diámetro de está delimitado por .
Un subconjunto cerrado de un conjunto compacto es compacto.
Deje que K sea un subconjunto cerrado de un conjunto compacto T en R n y dejar C K sea una cubierta abierta de K . Entonces U = R n \ K es un conjunto abierto y
es una cubierta abierta de T . Dado que T es compacto, entonces C T tiene una subcubierta finitaque también cubre el conjunto K más pequeño . Dado que U no contiene ningún punto de K , el conjunto K ya está cubierto porque es una subcolección finita de la colección original C K . Por tanto, es posible extraer de cualquier cubierta abierta C K de K una subcapa finita.
Si un conjunto está cerrado y acotado, entonces es compacto.
Si un conjunto S en R n está acotado, entonces puede encerrarse dentro de una caja n
donde a > 0. Por la propiedad anterior, es suficiente mostrar que T 0 es compacto.
Supongamos, a modo de contradicción, que T 0 no es compacto. Entonces existe una cubierta abierta infinita C de T 0 que no admite ninguna sub cubierta finita. Mediante la bisección de cada uno de los lados de T 0 , la caja T 0 se puede dividir en 2 n sub n cajas, cada una de las cuales tiene un diámetro igual a la mitad del diámetro de T 0 . Entonces, al menos una de las 2 n secciones de T 0 debe requerir una subcubierta infinita de C ; de lo contrario, el propio C tendría una subcubierta finita, al unir las cubiertas finitas de las secciones. Llame a esta sección T 1 .
Del mismo modo, los lados de T 1 se pueden bisecaron, produciendo 2 n secciones de T 1 , al menos uno de los cuales debe requerir un subcover infinito de C . Continuar de la misma manera produce una secuencia decreciente de n- casillas anidadas :
donde la longitud del lado de T k es (2 a ) / 2 k , que tiende a 0 cuando k tiende a infinito. Definamos una secuencia ( x k ) tal que cada x k esté en T k . Esta secuencia es Cauchy, por lo que debe converger a un límite L . Dado que cada T k es cerrado, y para cada k la secuencia ( x k ) eventualmente siempre está dentro de T k , vemos que L ∈ T k para cada k .
Desde C cubre T 0 , entonces tiene algún miembro U ∈ C tal que L ∈ U . Desde U está abierto, hay una n -ball B ( L ) ⊆ U . Para k suficientemente grande , uno tiene T k ⊆ B ( L ) ⊆ U , pero entonces el número infinito de miembros de C necesarios para cubrir T k puede ser reemplazado por uno solo: U , una contradicción.
Por tanto, T 0 es compacto. Dado que S es cerrado y es un subconjunto del conjunto compacto T 0 , entonces S también es compacto (ver arriba).
Propiedad de Heine-Borel
El teorema de Heine-Borel no es válido para los espacios vectoriales métricos y topológicos generales , y esto da lugar a la necesidad de considerar clases especiales de espacios donde esta proposición es verdadera. Se denominan espacios con la propiedad Heine-Borel .
En la teoría de los espacios métricos
Un espacio métrico se dice que tiene la propiedad de Heine-Borel si cada cerrado acotado [3] establecido en es compacto.
Muchos espacios métricos no tienen la propiedad de Heine-Borel, como el espacio métrico de números racionales (o de hecho cualquier espacio métrico incompleto). Los espacios métricos completos también pueden no tener la propiedad; por ejemplo, ningún espacio de Banach de dimensión infinita tiene la propiedad de Heine-Borel (como espacios métricos). Aún más trivialmente, si la línea real no está dotada de la métrica habitual, es posible que no tenga la propiedad Heine-Borel.
Un espacio métrico tiene una métrica de Heine-Borel que es Cauchy localmente idéntica a si y solo si está completo ,-compacto y localmente compacto . [4]
En la teoría de los espacios vectoriales topológicos
Un espacio vectorial topológico se dice que tiene la propiedad de Heine-Borel [5] (RE Edwards usa el término espacio compacto acotado [6] ) si cada acotado cerrado [7] establecido enes compacto. [8] Ningún espacio de Banach de dimensión infinita tiene la propiedad Heine-Borel (como espacios vectoriales topológicos). Pero algunos espacios de Fréchet de dimensión infinita tienen, por ejemplo, el espacio de funciones suaves en un conjunto abierto [6] y el espacio de funciones holomorfas en un conjunto abierto . [6] De manera más general, cualquier espacio nuclear cuasi completo tiene la propiedad Heine-Borel. Todos los espacios de Montel también tienen la propiedad Heine-Borel.
Ver también
Notas
- ↑ a b Raman-Sundström, Manya (agosto-septiembre de 2015). "Una historia pedagógica de la compacidad". American Mathematical Monthly . 122 (7): 619–635. arXiv : 1006.4131 . doi : 10.4169 / amer.math.monthly.122.7.619 . JSTOR 10.4169 / amer.math.monthly.122.7.619 .
- ^ Sundström, Manya Raman (2010). "Una historia pedagógica de la compacidad". arXiv : 1006.4131v1 [ matemáticas.HO ].
- ^ Un conjunto en un espacio métrico se dice que está acotado si está contenido en una bola de radio finito, es decir, existe y tal que .
- ^ Williamson y Janos 1987 .
- ^ Kirillov y Gvishiani 1982 , Teorema 28.
- ↑ a b c Edwards , 1965 , 8.4.7.
- ^ Un conjunto en un espacio vectorial topológico se dice que está acotado si para cada vecindario de cero en existe un escalar tal que .
- ^ En el caso en que la topología de un espacio vectorial topológico es generado por alguna métrica esta definición no es equivalente a la definición de la propiedad de Heine-Borel de como un espacio métrico, ya que la noción de acotado en como un espacio métrico es diferente de la noción de conjunto acotado en como un espacio vectorial topológico. Por ejemplo, el espacio de funciones suaves en el intervalo con la métrica (aquí es el -ésima derivada de la función ) tiene la propiedad de Heine-Borel como un espacio vectorial topológico pero no como un espacio métrico.
Referencias
- P. Dugac (1989). "Sur la correspondance de Borel et le théorème de Dirichlet-Heine-Weierstrass-Borel-Schoenflies-Lebesgue". Arco. En t. Hist. Sci . 39 : 69-110.
- BookOfProofs: Propiedad de Heine-Borel
- Jeffreys, H .; Jeffreys, BS (1988). Métodos de Física Matemática . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0521097239.
- Williamson, R .; Janos, L. (1987). "Métricas de construcción con la propiedad Heine-Borel" . Proc. AMS . 100 (3): 567–573. doi : 10.1090 / S0002-9939-1987-0891165-X .
- Kirillov, AA; Gvishiani, AD (1982). Teoremas y problemas del análisis funcional . Springer-Verlag Nueva York. ISBN 978-1-4613-8155-6.
- Edwards, RE (1965). Análisis funcional . Holt, Rinehart y Winston. ISBN 0030505356.
enlaces externos
- Ivan Kenig, Dr. Prof. Hans-Christian Graf contra Botthmer, Dmitrij Tiessen, Andreas Timm, Viktor Wittman (2004). El teorema de Heine-Borel . Hannover: Leibniz Universität. Archivado desde el original (avi • mp4 • mov • swf • video transmitido) el 19 de julio de 2011.
- "Teorema de cobertura de Borel-Lebesgue" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Mathworld "Teorema de Heine-Borel"
- "Un análisis de las primeras pruebas del teorema de Heine-Borel: prueba de Lebesgue"